Vorlesung Algebraische Geometrie
Frühjahrssemester 2007
Inhalt
Zentrales Thema der Algebraischen Geometrie ist das Studium von Lösungsmengen von Systemen
von polynomialen Gleichungen in mehreren Variablen. Obwohl es dabei im Wesentlichen um geometrische Fragestellungen geht
(existieren Lösungen?, "wie groß" sind sie? (dies führt zum Dimensionsbegriff),
kann man sie in Komponenten zerlegen? usw.), sind die eingesetzten Methoden eher algebraisch. Deshalb
eignet sich die Vorlesung sehr gut als Fortsetzung einer Algebra-Vorlesung. Sie kann
als Schwerpunkt für die Bereiche Algebra und Geometrie gehört werden. Die wesentlichen Themen werden sein:
- Affin-algebraische Varietäten
- Dimension und Komponentenzerlegung
- Lokale Ringe, Zariski-Tangentialraum, Singularitäten
- Aufblasen
- Projektive Varietäten
- Schnittmultiplizitäten und Satz von Bézout
- Algebraische Kurven
- Computeralgebra: Gröbnerbasen, Visualisierung von Kurven und Flächen
Literatur
Es gibt zahlreiche Standardwerke zur Algebraischen Geometrie, die meisten enthalten
mehr Stoff als für eine Vorlesung. Die vielleicht wichtigsten Lehrbücher sind
die beiden Bände von Shafarevich und das Buch von Hartshorne. Letzteres ist allerdings
wesentlich schwieriger und zum Einstieg eher ungeeignet. Ich werde mich wahrscheinlich am Buch von Shafarevich
(erster Band) orientieren, mit Anleihen bei Hartshorne und den anderen genannten Referenzen.
Da die kommutative Algebra ein unentbehrliches Hilfsmittel in der algebraischen Geometrie
ist, werde ich die nötigen Begriffe in der Vorlesung ebenfalls behandeln.
- Igor R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry, Band 1 und 2, Springer-Verlag
- Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag
- David Eisenbud, Joe Harris: The Geometry of Schemes, Springer-Verlag
- David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry, Springer-Verlag
- Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister: A Singular introduction to commutative algebra
- David Eisenbud u.a.: Computations in algebraic geometry with Macaulay 2
Außerdem werde ich die folgenden beiden Vorlesungsskripte
verwenden
Termine
Vorlesung
- Mittwoch 13.45 - 15.15, Raum: C012
- Donnerstag 10.15 - 11.45, Raum: C012
Übung
- Mittwoch 15.30 - 17.00, Raum: C012
Übungsblätter
- Blatt 1 (PS-Datei, PDF-Datei)
- Topologie (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 2 (PS-Datei, PDF-Datei)
- Übungsblatt zu lokalen Ringen aus der Vorlesung Singularitätentheorie, Herbstsemester 2006
(PS-Datei, PDF-Datei)
- Projektiver Raum (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 3 (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 4 (PS-Datei, PDF-Datei), Lösungen (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 5 (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 6 mit Lösungen (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 7 mit Lösungen (PS-Datei, PDF-Datei)
- Blatt 8 mit Lösungen (PS-Datei, PDF-Datei)