Vorlesung: Irreguläre Singularitäten von Differentialgleichungen und Stokes-Strukturen

Frühjahrssemester 2010

Inhalt

In der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit komplexen Koeffizienten gibt es zwei grundlegende Fälle von Singularitäten, nämlich reguläre und irreguläre. Wärend der reguläre Fall klassiche und ziemlich einfach zu verstehen ist, treten bei der Klassifikation von irregulären SIingularitäten ganz neue Phänomene auf. Insbesondere läßt sich die Riemann-Hilbert-Korrespondenz, welche im regulären Fall eine sehr schöne Beziehung zwischen analytischen Daten (dem Differentialgleichungssystem) und topologischen Daten (der Lösungsmenge) liefert, nicht ohne weiteres auf den irregulären Fall übertragen. In der Vorlesung sollen Methoden behandelt werden, mit denen man auch solche irregulären Singularitäten verstehen kann. Insbesondere will ich Stokes-Strukturen erklären. Je nach vorhandener Zeit und Interesse werde ich mich auf den Fall einer Variablen beschräken oder auch einiges zum höherdimensionalen Fall sagen, bei dem die neuesten Arbeiten von T.Mochizuki erstmals genauere Aussagen erlauben.

Die benötigten Vorkenntnisse sind die Grundlagen der komplexen Analysis, einiges aus der Theorie der holomorphen Vektorbündel sowie der Begriff und die wichtigsten Eigenschaften von Zusammenhängen auf Vektorbündeln. Man kann diese Veranstaltung als Fortsetzung meiner Vorlesung Vektorbündel und meromorphe Zusammenhänge aus dem Herbstsemester 2008 hören.

Literatur

Ich werde vor allem die folgenden Quellen benutzen (Reihenfolge = abnehmende Wichtigkeit für die Vorlesung):

  • Claude Sabbah: "Isomonodromic Deformations and Frobenius Manifolds", Kapitel II, 5. und 6, Springer-Verlag, Universitext
  • Bernard Malgrange: "La classification des connexions irregulières à une variable", in "Mathématique et physique", Birkhäuser, Progress in Mathematics, 37
  • Bernard Malgrange: "Équations différentielles à coefficients polynomiaux", Birkhäuser, Progress in Mathematics, 96
  • Claude Sabbah: "Introduction to Stokes structures", verfügbar hier
  • Takuro Mochizuki: "Good formal structure for meromorphic flat connections on smooth projective surfaces", arxiv:0803.1346, verfügbar hier
  • Takuro Mochizuki: "Wild Harmonic Bundles and Wild Pure Twistor D-modules", arxiv:0803.1344, verfügbar hier

    • Termine

  • Dienstag 13.45 - 15.15, Raum C012