BESCHREIBUNG FRACTAL4.KCC Version 2.0 f}r KC 85/4
MARIO LEUBNER Markersdorf
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Das Programm FRACTAL4 stellt eine komfortable Weiterentwicklung der
Programmidee von Hannes Gutzer aus dem Buch "Kreativ mit dem Com-
puter" dar. Das Rahmenprogramm sowie die Berechnung der Bilder wur-
den in KC-PASCAL geschrieben. Die Peripherie-Routinen sind als reine
Assemblerprogramme eingef}gt worden. Das Programm l{uft nur auf dem
KC85/4, da es im hochaufl|sendem Grafikmodus arbeitet. Es nutzt die
M|glichkeit des Computers, pixelweise vier Farben darzustellen.
Desweiteren sind die beiden RAM-B{nke auf der Adresse 8000H f}r die
Zwischenspeicherung von Bildschirminhalten erforderlich.
îTheoretischesâ
"Den Begriff Fractal hat B. Mandelbrot um 1980 eingef}hrt. Er geht
auf das lateinische Adjektiv fractus und das Verb frangere zur}ck,
bedeutet also: zerbrechen, unregelm{~ige Bruchst}cke erzeugen, irre-
gul{r." ╦1═
Die Berechnung von Bildern nach mathematischen Gesetzm{~igkeiten
ist unter Computerfreaks von breitem Interesse. Besonders reizvoll
ist dabei das "Apfelm{nnchen". Es ist wohl auch das bekannteste die-
ser Figuren. Die Berechnungsgrundlage bildet ein doppelt variables
Gleichungs-System der Form:
Aên+1ç = F(Aênç, Bênç, X, Y)
Bên+1ç = G(Aênç, Bênç, X, Y)
Genutzt wurden die Funktionen:
A = AÄ2ü - BÄ2ü + X
B = 2 ⌐ A ⌐ B - Y
"Sie erzeugen das bekannte Apfelm{nnchen. Es wurde erstmals um 1980
von Mandelbrot dargestellt und erhielt erst sp{ter von den Computer-
freaks seinen Namen, weil man es sich aus einer Vielzahl kleiner und
gro~er [pfel aufgebaut vorstellen kann." ╦1═
A und B sind die Iterationsvariablen, X und Y die Koordinatenwerte
einer komplexen Zahlenebene. F}r A und B werden Startwerte gew{hlt,
die den Koordinatenwerten entsprechen. Die Ergebnisse der Rechnungen
werden solange wieder in die Gleichungen eingesetzt, bis eine Ent-
scheidung zur Konvergenz (gegen einen endlichen Wert strebend) oder
Divergenz (gegen unendlich) getroffen werden kann. Das Verfahren
nennt man Iteration.
F}r Konvergenz und Divergenz sind Kriterien festzulegen. Es wird
angenommen, wenn der Wert Z=AÄ2ü+BÄ2ü > 4 ist, dann strebt die Zahl nach
unendlich und sie geh|rt nicht zur Mandelbrot-Menge. Wird nach der
von uns vorgegebenen Zyklenzahl (Iterationstiefe) der Wert nicht
erreicht, so geh|rt dieser Punkt zur Mandelbrot-Menge.
ò
Bei der Farbdarstellung wird nun die Iterationstiefe in vier Berei-
che unterteilt, und je nach erreichtem Wert der Bildpunkt farbig
dargestellt. Die zweite M|glichkeit besteht darin, die erreichte
Iterationstiefe durch vier zu teilen und den Bildpunkt entsprechend
dem verbleibenden Rest einzuf{rben. Hier entspricht die Darstellung
nicht mehr der reinen Mandelbrotmenge, es entstehen aber teilweise
{sthetische Bilder.
Die reizvollsten Bilder erh{lt man mit hohen Iterationstiefen, doch
die Rechenzeiten sind unvertretbar hoch. Iterationstiefen zwischen
100 und 300 sind ein guter Kompromi~. Da jedes Bild nach mathema-
tischen Gesetzm{~igkeiten unter Ausschlu~ jeglichen Zufalls berech-
net wurde, l{~t sich bei Kenntnis des Real- und Imagin{rbereiches
sowie der Iterationstiefe jedes Bild nachvollziehen.
Man kann beliebig in's "Detail" gehen und die Werte entsprechend
variieren. Der letzte Vorschlag nach V|lz (siehe unten) entspricht
beispielsweise einer 150000-fachen Vergr|~erung!
îZum Programmâ
FRACTAL4 ist selbststartend und gibt nach dem Start zun{chst ein
paar Hinweise zur Funktion. Danach wird der gel|schte Bildschirm und
am rechten Rand eine Men}leiste angezeigt.
Der linke Teil des Bildschirmes mit 256⌐256 Pixeln ist stets f}r die
Anzeige der Grafiken reserviert. Alle Bedienungen, Ein- und Ausgaben
werden am rechten Bildschirmrand angezeigt.
Æ
┌────────────────────────────────┬───┬───┐
│ │ 1 │ 2 │
│ ├───┼───┤
│ │ 3 │ 4 │
│ ├───┼───┤
│ │ 5 │ 6 │
│ ├───┼───┤
│ Grafikfenster │ 7 │ 8 │
│ ├───┼───┤
│ 256⌐256 Pixel │ 9 │ 10│
│ ├───┼───┤
│ │ 11│ 12│
│ ├───┼───┤
│ │ 13│ 14│
│ ├───┼───┤
│ │ 15│ │
└────────────────────────────────┴───┴───┘
æ
îDie Men}leisteâ
]ber die 15 Ikons werden alle Funktionen des Programms aufgerufen.
Gesteuert werden die Ikons durch die Cursortasten. Die Anwahl einer
Funktion geschiet durch die Bet{tigung der ENTER-Taste. Die aktuell
gew{hlte Funktion wird farblich hervorgehoben. Bei verschiedenen
Funktionen wird w{hrend der Ausf}hrung ein Teil der Men}leiste ge-
l|scht, um Platz f}r andere Ein- oder Ausgaben zu gewinnen. Ein
Abbruch der Funktionen 1 bis 4, 11 und 13 kann mit der Taste "Q"
erreicht werden.
ò
1. zeichnet ein Fractal der Mandelbrotmenge (Start in 0,0) nach
{sthetischen Gesichtspunkten.
2. zeichnet das reine Fractal der Mandelbrotmenge (Start in 0,0)
3. wie 1., jedoch Start in X beliebig (Fortsetzung halbfertiger
Fractale)
4. wie 2., jedoch Start in X beliebig (Fortsetzung halbfertiger
Fraktale)
5. Magnetbandausgabe:
Nach Nameneingabe wird der Bildschirminhalt auf Kassette ausge-
geben.
6. Magnetbandeingabe:
Ein Bildinhalt, der unter Punkt 5 auf Kassette abgelegt wurde,
kann wieder eingelesen werden. Es sind auch Bildschirminhalte
einlesbar, die mit dem BASIC-Programm FRAC-MC abgespeichert
wurden, diese erscheinen aber dann in schwarz/wei~.
7. Diskettenausgabe:
Speicherung des Bildinhaltes auf Diskette. Ist kein Floppy
angeschlossen erscheint "FL-ERROR". Ansonsten ist ein acht-
stelliger Dateiname einzugeben. Das Programm f}gt automatisch
den Dateityp FRC an. Ist eine Datei mit dem angegebenen Namen
bereits auf der Diskette, so fragt das Programm zur Sicherheit,
ob diese Datei }berschrieben werden soll. ("Y" f}r ]berschrei-
ben und "N" f}r Abbruch eingeben!)
8. Disketteneingabe:
Wenn kein Floppy angeschlossen ist, erfolgt die Fehlermeldung
"FL-ERROR". Ansonsten sucht das Programm auf der Diskette eine
Datei mit dem eingegebenen Namen und dem Dateityp FRC. Ist eine
solche vorhanden, so wird sie eingelesen. Ist diese Datei nicht
vorhanden, dann wird weitergesucht nach einer Datei mit dem
selben Namen, aber Dateityp IRM. Das k|nnen Dateien sein, die
einen direkten Speicherabzug des Pixelspeichers ab 8000H bis
mindestens A000H darstellen. Solche Dateien werden z.B. auch vom
BASIC-Programm FRAC-MC erzeugt. Sind bei der Datei mit dem Typ
IRM nicht 2 Adressen (Anfangs- und Endadresse) vorhanden oder
ist die erste Adresse nicht 8000H oder ist die Endadresse
kleiner als 0A000H, dann erscheint AD-ERROR.
9. Teilen des Bildes durch Linien in 16 gleiche Teilbilder. Damit
ist bei der Suche nach interessanten "Fractalgebieten" eine bes-
sere Orientierung am Bildschirm m|glich. Ein nochmaliger Aufruf
der Funktion hebt die Teilung wieder auf.
10. Austausch Bild 1 mit Bild 2:
Wechsel zwischen den Bildern 0 und 1 des Computers.
11. Grauwertdruck positiv:
Der Ausdruck von Bildinhalten ist zur Zeit nur }ber ein mit Cen-
tronics-Schnittstelle nachger}stetes Joystickmodul M008 m|glich.
Bei wei~en Fl{chen wird Drucknadel gesetzt.
ò
12. Austausch Bild 1 mit Bild 3:
aktuelles Bild wird mit erstem Teil der RAM-Bank ausgetauscht.
13. Grauwertdruck negativ:
Wie 11., jedoch bei schwarzen Fl{chen wird Drucknadel gesetzt.
14. Austausch Bild 1 mit Bild 4:
aktuelles Bild wird mit zweitem Teil der RAM-Bank ausgetauscht.
15. Zur}ck zum CAOS-Betriebssystem.
Im CAOS-Men} steht jetzt das Men}wort "FRACTAL". Damit kann das
Programm erneut gestartet werden.
Bild 1 und 2 werden bei Programmstart gel|scht. Die Bilder 3 und 4
bleiben unver{ndert. Beim erstmaligen Aufruf des Programms haben
diese Bildspeicher deshalb eine zuf{llige Belegung. Das st|rt aber
nicht, da nach Aufruf der Men}punkte zum Neuzeichnen oder Laden das
Grafikfenster gel|scht wird. Nach einem Programmabbruch (auch nach
RESET) bleiben die Bilder 3 und 4 erhalten. Sofern nicht durch ande-
re Programme (z.B. BASIC-Interpreter oder WordPro) die Inhalte der
RAM-Bank ver{ndert werden, kann ein Neustart von FRACTAL4 jederzeit
die in der RAM-Bank gespeicherten Bilder 3 und 4 wieder zug{nglich
machen.
îFunktionen der System-LEDâ
Da das Zeichnen von Fractalen eine langwierige Angelegenheit ist,
ist es ratsam, das Fernsehger{t oder den Monitor nicht w{hrend des
gesamten Programms eingeschaltet zu lassen. Zur schnellen Informa-
tion }ber den Stand des Programms dient dann noch die System-LED.
Sie zeigt folgendes an:
- LED an bedeutet, da~ der Rechner mit der Berechnung von Bildern
besch{ftigt ist.
- LED aus bedeutet, da~ sich der Rechner in einer Peripherie-Rou-
tine z.B. Drucken oder Bildaustausch befindet.
- LED blinkt bedeutet, da~ sich der Rechner in der Men}auswahl be-
findet.
Wenn Sie also die Berechnung gestartet haben, wird die LED leuchten.
Sie schalten jetzt den Monitor ab und brauchen ihn erst wieder zuzu-
schalten wenn die LED wieder blinkt.
Nat}rlich k|nnen Sie auch vorzeitig die Berechnung abbrechen. Dabei
ist es g}nstig, sich den Stand der X-Position zu notieren. Sie k|n-
nen damit jederzeit das Zeichnen fortsetzen. Es ist auch immer zu
empfehlen, nach einer Rechenzeit von etwa einer Stunde das bis dahin
erzeugte Bild abzuspeichern und danach die Berechnung fortzusetzen.
ò
Vorschl{ge f}r Fractale:
────────────────────────
Der Bereich der Mandelbrot-Menge liegt etwa zwischen
real -2 ... 1 und imagin{r -1.5 ... 1.5
Interessant sind jedoch erst die Randgebiete des Apfelm{nnchens.
Hier einige Vorschl{ge:
┌──────────────────────┬───────────────────────┬───────────────────┐
│ real │ imagin{r │ Iterations- │
│ von bis │ von bis │ tiefe │
├──────────────────────┼───────────────────────┼───────────────────┤
│ 0.26 0.27 │ 0 0.01 │ 100 ┐ nach │
│ -0.76 -0.74 │ 0.01 0.03 │ 100 ├ Hubbard │
│ -1.26 -1.24 │ 0.01 0.03 │ 100 ┘ │
├──────────────────────┼───────────────────────┼───────────────────┤
│ 0.3083 0.3277 │ -0.042 -0.02942 │ 200 ┐ nach │
│ -0.75373 -0.75293 │ -0.04719 -0.0467 │ 250 ├ Dittmar/ │
│ -0.7672 -0.7654 │ 0.1002 0.1015 │ 200 ┘ Wynands │
├──────────────────────┼───────────────────────┼───────────────────┤
│ -1 -0.7 │ 0.1 0.3 │ 100 ┐ │
│ -0.79 -0.74 │ -0.025 0.135 │ 150 │ │
│ -0.77 -0.74 │ 0.097 0.12 │ 300 │ │
│ -0.749 -0.741 │ 0.11 0.116 │ 1000 │ nach │
│ -0.748 -0.745 │ 0.114 0.1163 │ 500 ├ V|lz │
│ -0.7459 -0.7445 │ 0.11215 0.1132 │ 1000 │ │
│ -0.7455 -0.7415 │ 0.1129 0.1131 │ 1000 │ │
│ -0.74545 -0.74573 │ 0.11298 0.113018 │ 1000 │ │
│ -0.745445 -0.74542 │ 0.112999 0.113016 │ 1000 ┘ │
├──────────────────────┼───────────────────────┼───────────────────┤
│ -0.7672 -0.7652 │ 0.0999 0.1016 │ 150 ┐ nach │
│ -0.7692 -0.7632 │ 0.0979 0.1036 │ 150 ┘ Gutzer │
├──────────────────────┼───────────────────────┼───────────────────┤
│ -0.1375 -0.175 │ -1.05 -1 │ 200 kl. Apfel │
│ 0.255 0.275 │ -0.01 0.01 │ 100 │
│ 0.26 0.265 │ -0.005 0 │ 120 │
└──────────────────────┴───────────────────────┴───────────────────┘
Literaturhinweise:
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╦1═ Horst V|lz: BASIC effektiv programmieren, auch mit Kleincompu-
tern. Verlag Die Wirtschaft, Berlin
╦2═ Hannes Gutzer: Kreativ mit dem Computer. Urania-Verlag Leipzig,
Jena, Berlin
╦3═ B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Akademie-
Verlag Berlin
òÆ
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ îèFractal-Bilderàâ │
├────────────┬───┬──────────────────┬──────────────────┬───────┬─────┤
│ Dateiname │Art│ real (von-bis) │imagin. (von-bis) │Iterat.│ Zeit│
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
│GESAMT1 .FRC│ 1 │-2 1 │-1.5 1.5 │ 150 │ 4:40│
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
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├────────────┼───┼──────────────────┼──────────────────┼───────┼─────┤
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└────────────┴───┴──────────────────┴──────────────────┴───────┴─────┘æ
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