Was sind orthogonale Kontraste?
Bei der Kontrastanalyse untersuchen wir gezielte Vergleiche zwischen Gruppenmittelwerten. Orthogonale Kontraste sind dabei Kontraste, die statistisch unabhängig voneinander sind. Formal bedeutet das: Das Skalarprodukt ihrer Kontrastgewichte ist gleich 0.
Ein Kontrast ist allgemein eine gewichtete Summe von Mittelwerten, wobei sich die Gewichte zu 0 addieren müssen.
Beispiel mit drei Gruppen
Wir betrachten drei Gruppen:
- Gruppe 1: Kontrollgruppe
- Gruppe 2: Treatment A
- Gruppe 3: Treatment B
Kontrast 1: Kontrollgruppe vs. beide Treatment-Gruppen
\[ K_1 = (-2,\ 1,\ 1) \]
Dieser Kontrast vergleicht die Kontrollgruppe mit den beiden Treatment-Gruppen zusammen. Die Koeffizienten addieren sich zu 0.
Kontrast 2: Treatment A vs. Treatment B
\[ K_2 = (0,\ 1,\ -1) \]
Dieser Kontrast vergleicht die beiden Treatment-Gruppen direkt miteinander.
Orthogonalität
Zwei Kontraste sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist:
\[ K_1 \cdot K_2 = (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 + 1 - 1 = 0 \]
Die beiden Kontraste sind also orthogonal.
Der Vorteil besteht darin, dass orthogonale Kontraste verschiedene Aspekte der Gruppenunterschiede trennen. Sie überlappen sich inhaltlich nicht und zerlegen bei geeigneter Wahl gemeinsam die Quadratsumme zwischen den Gruppen.
\[ QS_{zw} = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{x}_j - \bar{\bar{x}})^2 = \sum_{j=1}^{k-1} QS_{\text{Kontrast}_j} \]
Das gilt, wenn die Kontraste orthogonal sind.
Beispiel mit vier Gruppen
Nun betrachten wir vier Gruppen:
- Gruppe 1: Kontrollgruppe
- Gruppe 2: Treatment A
- Gruppe 3: Treatment B
- Gruppe 4: Treatment C
Bei 4 Gruppen lassen sich maximal 3 orthogonale Kontraste formulieren.
Kontrast 1: Kontrollgruppe vs. alle Treatments
\[ K_1 = (-3,\ 1,\ 1,\ 1) \]
Kontrast 2: Treatment A vs. Treatment B und C
\[ K_2 = (0,\ 2,\ -1,\ -1) \]
Kontrast 3: Treatment B vs. Treatment C
\[ K_3 = (0,\ 0,\ 1,\ -1) \]
Prüfung der Orthogonalität
Skalarprodukt von \(K_1\) und \(K_2\)
\[ (-3) \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 0 \]
Skalarprodukt von \(K_1\) und \(K_3\)
\[ (-3) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 \]
Skalarprodukt von \(K_2\) und \(K_3\)
\[ 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0 \]
Alle Skalarprodukte sind 0. Damit sind die drei Kontraste orthogonal.
Fazit
Bei \(k\) Gruppen lassen sich maximal \(k-1\) orthogonale Kontraste formulieren.
Orthogonale Kontraste sind besonders nützlich, wenn gezielte und voneinander getrennte Hypothesen geprüft werden sollen. Sie helfen also dabei, Gruppenunterschiede systematisch und interpretierbar zu strukturieren.