Interpretation verschiedener \(\eta^2\)

Lernziele in R

• Verschiedene Formen des \(\eta^2\)s unterscheiden
• Die Bezugsgröße einer Effektgröße erkennen
• Das generalisierte \(\eta^2\) berechnen
• Das generalisierte \(\eta^2\) inhaltlich interpretieren
• Ergebnisse einer mehrfaktoriellen ANOVA berichten

Quadratsummen in einer einfaktoriellen Varianzanalyse

Für Varianzanalysen hat sich in der Psychologie das \(\eta^2\) als Effektgröße etabliert. Die Berechnung von \(\eta^2\) beruht auf der Zerlegung der Quadratsummen (ein unstandardisiertes Streuungsmaß). Die Abkürzung \(SS\) steht für Sum of Squares.

Die Gesamtquadratsumme \(SS_{\text{gesamt}}\) erfasst die gesamte Streuung der abhängigen Variable um ihren Gesamtmittelwert und setzt sich zusammen aus:

\[SS_{\text{gesamt}}=SS_{\text{Effekt}}+SS_{\text{Fehler}}\] - \(SS_{\text{Effekt}}\): Streuung zwischen den untersuchten Bedingungen oder Gruppen - \(SS_{\text{Fehler}}\): verbleibende Streuung innerhalb der Gruppen

\(\eta^2\) setzt die Quadratsumme des Effekts zur Gesamtquadratsumme ins Verhältnis:

\[ \eta^2 = \frac{SS_{\text{Effekt}}} {SS_{\text{gesamt}}}= \frac{SS_{\text{Effekt}}} {SS_{\text{Effekt}} + SS_{\text{Fehler}}} \] Ein Wert von \(\eta^2 = .30\) bedeutet beispielsweise, dass 30 % der gesamten beobachteten Varianz der abhängigen Variable auf Unterschiede zwischen den untersuchten Gruppen entfallen. (Die verbleibenden 70 % entfallen auf Unterschiede innerhalb der Gruppen.)

Quadratsummen in einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse

Bei einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse existiert nicht nur eine Effektquadratsumme. Für jeden Haupteffekt und jede Interaktion wird eine eigene Quadratsumme bestimmt.

Bei einer balancierten, vollständig gekreuzten zweifaktoriellen Varianzanalyse mit den Faktoren \(A\) und \(B\) setzt sich die Gesamtquadratsumme folgendermaßen zusammen:

\[ SS_{\text{gesamt}} = SS_A + SS_B + SS_{A \times B} + SS_{\text{Fehler}} \]

Dabei bezeichnet

• \(SS_A\) die Quadratsumme des Haupteffekts von Faktor \(A\),
• \(SS_B\) die Quadratsumme des Haupteffekts von Faktor \(B\),
• \(SS_{A \times B}\) die Quadratsumme der Interaktion zwischen beiden Faktoren und
• \(SS_{\text{Fehler}}\) die nicht durch das Modell erklärte Quadratsumme.

\(\eta^2\) setzt wie bei einem einfaktoriellen die Quadratsumme des Effektsvins Verhältnis zur gesamten Quadratsumme.

Für den Haupteffekt von Faktor \(A\) gilt:

\[ \eta_A^2 = \frac{SS_A} {SS_{\text{gesamt}}}= \frac{SS_A} {SS_A + SS_B + SS_{A \times B} + SS_{\text{Fehler}}} \]

Partielles \(\eta^2\)

Das partielle \(\eta^2\) verwendet eine eingeschränkte Bezugsgröße. Es setzt die Quadratsumme des untersuchten Effekts nur zur Summe aus der Effektquadratsumme und der zugehörigen Fehlerquadratsumme ins Verhältnis:

Für den Haupteffekt von Faktor \(A\) gilt entsprechend:

\[ \eta_{p,A}^2 = \frac{SS_A} {SS_A + SS_{\text{Fehler}}} \]

Die Quadratsummen der übrigen Effekte werden aus dem Nenner ausgeschlossen. Bei einer zweifaktoriellen Varianzanalyse werden für das partielle \(\eta^2\) von Faktor \(A\) daher weder die Quadratsumme von Faktor \(B\) noch die Quadratsumme der Interaktion \(A \times B\) berücksichtigt.

Ein partielles \(\eta^2\) von \(\eta_{p,A}^2 = .30\) bedeutet, dass 30 % der Varianz, die nach dem Herausrechnen der Varianzanteile von Faktor \(B\) und der Interaktion verbleibt, auf Faktor \(A\) zurückgehen. Anders ausgedrückt: Von derjenigen Gesamtvarianz, die nicht durch die übrigen Effekte des Modells erklärt wird, werden 30 % durch Faktor \(A\) erklärt.

Generalisiertes \(\eta^2\)

Das generalisierte \(\eta^2\) wurde entwickelt, um Effektgrößen für denselben Effekt in unterschiedlichen Untersuchungsdesigns besser miteinander vergleichen zu können (Olejnik & Algina, 2003).

Welche Quadratsummen in den Nenner eingehen, hängt davon ab ob ein Between-Subjects- oder Within-Subjects-Design vorliegt (und welche Faktoren manipuliert wurden).

Im Between-Subjects-Design gilt im Allgemeinen \(\eta_p^2 = \eta_G^2\).¹

Daher betrachten wir zunächst ein einfaches Design mit genau einem Within-Subjects-Faktor. Hier gibt es eine weitere Varianzquelle: die Varianz zwischen den Personen.

\[SS_{\text{Gesamt}}=SS_{\text{Effekt}}+SS_{\text{Fehler}}+SS_{\text{Personen}}\] Die Personenquadratsumme \(SS_{\text{Personen}}\) beschreibt stabile Unterschiede zwischen den untersuchten Personen.

Hier werden die Unterschiede zwischen den Effektgrößen sichtbar:

Das partielle \(\eta^2\) schließt diese Personenunterschiede aus dem Nenner aus:

\[ \eta_p^2 = \frac{SS_{\text{Effekt}}} {SS_{\text{Effekt}} + SS_{\text{Fehler}}} \]

Das generalisierte \(\eta^2\) nimmt die Personenunterschiede dagegen in die Bezugsgröße auf:

\[ \eta_G^2 = \frac{SS_{\text{Effekt}}} {SS_{\text{Effekt}} + SS_{\text{Fehler}} + SS_{\text{Personen}}} \]

Dadurch ist das \(\eta_G^2\) direkt mit einem \(\eta_p^2\) aus dem äquivalenten Between-Subjects-Design vergleichbar. Ein \(\eta_G^2 = 0{,}30\) bedeutet also, dass 30 % der Varianz, die nicht auf andere experimentelle Faktoren zurückgeht, durch den Effekt erklärt werden. Im Within-Subjects-Design gehören dazu neben der Fehlervarianz auch stabile Unterschiede zwischen den Personen. Genau deshalb steht die Personenquadratsumme \(SS_{\text{Personen}}\) beim generalisierten \(\eta^2\) im Nenner.

Literatur

Olejnik, S., & Algina, J. (2003). Generalized eta and omega squared statistics: Measures of effect size for some common research designs. Psychological Methods, 8(4), 434–447. https://doi.org/10.1037/1082-989X.8.4.434

Fußnoten

1. Diese Gleichheit gilt für vollständig randomisierte Between-Subjects-Designs, in denen alle Faktoren manipuliert wurden. Bei Kovariaten können sich das partielle und das generalisierte \(\eta^2\) unterscheiden.