Die Spielstärke eines Basketballteams hängt von den technischen, physischen und mentalen Fähigkeiten ab. Hinzu kommt eine gute Portion Erfahrung und Spieltaktik. Am Ende eines Spiels steht jedoch einfach die Frage, ob ein Spiel gewonnen oder verloren wurde. Die Qualität bzw. Spielstärke eines Teams wird gemeinhin durch Anzahl gewonnener Spiele bestimmt, was sich im Punktwert in der Tabelle niederschlägt.
Wie wollen hier neben der Anzahl gewonnener Spiele zwei weitere Möglichkeiten betrachten, die Spielstärke zu ermitteln: der \(F-Score\) als Fähigkeitsparameter eines Teams und die \(Elo\)-Zahl als Ausdruck der Gewinnwahrscheinlichkeit.
Der \(Sieg\)-Score
Im Ligabetrieb der Basketballbundesliga (BBL) erhalten Mannschaften für ein gewonnenes Spiel 2 Punkte und für ein verlorenes Spiel 0 Punkte. Bei einem Unentschieden nach der regulären Spielzeit gibt es solange Verlängerung, bis ein Sieger feststeht. Die Spielstärke eines Teams wird also allein durch die Anzahl gewonnener Spiele ermittelt:
# Einlesen der Daten aus der Hinrunde.# Zeilenweise sind die Ergebnisse der Mannschaften kodiert. # 1... Sieg# 0... Niederlage # Eine Zeile repräsentiert die Leistung / Fähigkeit einer Mannschaft.# Spaltenweise kann später die Schwierigkeiten der Gegner ermittelt werden.BBL <-read.csv2("https://www-user.tu-chemnitz.de/~burma/blog_data/IRT_Tab_BBL.csv" )rownames(BBL) <- BBL$X BBL <- BBL[, -1]# exemplarisch die ersten 6 Teams und die letzten 2 "Items"BBL[1:6, 17:18]
Für den F-Score nutzen wir die Item-Response-Theorie (IRT) als Analogie. Die IRT geht davon aus, dass die Beantwortung eines Items zur Messung einer latenten Variable aus einem Fähigkeitswert der Person und der Itemschwierigkeit zusammen. Übersetzt in die Basketballlogik bedeutet dieses Konzept, dass der Sieg in einem Spiel von der Fähigkeit der eigenen Mannschaft und der Schwierigkeit des Gegners abhängt.
Obwohl einige Voraussetzungen der IRT in unserem Anwendungsbeispiel nicht erfüllt sind, wollen wir trotzdem wagen den \(F-Score\) der BBL-Teams zu ermitteln. Die Blogbeiträge von Hao ( 2022) und Masur (2022) bieten eine hervorragende Einführung in die IRT mit R. Wir betrachten hier lediglich die Ergebnisse.
Die Elo-Zahl basiert auf der Annahme, dass die relative Spielstärke zweier Teams proportional zur Wahrscheinlichkeit ist, dass das stärkere Team gewinnt. Wenn ein Team mit einer höheren Elo-Zahl (z. B. Alba Berlin) gegen ein Team mit einer niedrigeren Elo-Zahl (z. B. Chemnitz 99) antritt, wird erwartet, dass das Team mit der höheren Elo-Zahl das Spiel gewinnt. Wenn jedoch die Mannschaft mit der niedrigeren Elo-Zahl überraschend gewinnt, erhält sie eine höhere Elo-Zahl, während der Spieler mit der höheren Elozahl eine niedrigere Elo-Zahl erhält. Das Konzept ist vor allem aus dem Schach bekannt.
# Beispiel zur Elo-Zahllibrary(elo)# Fall A - Berlin geinntFall_A <-elo.calc(wins.A =1, elo.A =1100, elo.B =1000, k =20)Fall_B <-elo.calc(wins.A =0, elo.A =1100, elo.B =1000, k =20)#Fall_A; Fall_B
elo.A elo.B
1 1107.199 992.8013
elo.A elo.B
1 1087.199 1012.801
Während Chemnitz bei einer Niederlage (Fall_A) lediglich 7 Elo-Punkte verliert, würde das Team bei einem Sieg (Fall_B) 13 Elo-Punkte gewinnen.
Ermitteln wir den Verlauf der Elo-Zahlen über die Saison. Da die Elo-Zahl nicht unabhängig von der Reihenfolge der Spiele ist, haben wir im Datensatz BBL_2 die Spiele hinsichtlich der Reihenfolge (sortiert nach Spieltag hinterlegt). Anschließend ermitteln wir nach jedem Spiel die neuen Elo-Zahlen.
Wir haben nun 3 Möglichkeiten kennen gelernt die Spielstärke eines Basketballteams zu ermitteln. Alle 3 ermittelten Maßzahlen unterscheiden sich nur geringfügig:
\(Elo\)-Score und \(F\)-Score sind etwas differenzierter in ihrer Abstufung. Dagegen werden Mannschaften beim Sieg-Score als gleichstark klassifiziert. Der \(Elo\)-Score hat den Nachteil, dass er mehr Informationen benötigt (die Reihenfolge der Spiele. Vereinfachend könnte diese Information aber auch unberücksichtigt bleiben.)
Welcher Score der beste Prädiktor für die Abschluss-Tabelle der Saison ist, bleibt eine empirische Frage und kann nach dem letzten Spieltag an dieser Stelle beantworten wollen.
