Hörbarmachen von Schwingungen mit Mathematica

Die Play-Funktion von Mathematica ermöglicht es, Funktionen, insbesondere solche, die periodisch  sind, hörbar zu machen. Die Syntax und die Wirkungsweise sind analog dem Plot-Befehl

Der folgende Befehl zeichnet bzw. spielt den Kammerton a mit einer Frequenz von 440 Hertz über ein Zeitintervall von 0.01s  bzw 4 s. Die einzelnen Inputs können mit SHIFT+NUM_ENTER nacheinander abgearbeitetet werden. Man kann auch auf den Sound-Output doppelklicken. Ein Klick in eine andere Region beendet den Ton.

A = Sin[880 π t]

Plot[A, {t, 0, 0.01}];

Play[A, {t, 0, 0.1}]

Play[A, {t, 0, 4}]

Wir können auch verschiedene Schwingungen überlagern. Wenn die Frequenzen wenig abweichen, entsteht eine sogenannte Schwebung. Wir wollen für die Zeichnung eine geeignete Funktion aussuchen, damit man etwas sieht. Allerdings hören wir diese niedrigen Frequenzen kaum noch.

S = Sin[14 t] + Sin[16 t]
Plot[S, {t, 0, 12}];

Play[S, {t, 0, 20}]

Das Bild zeigt (und die mathematische Rechnung bestätigt das) das durch die Überlagerung eine andere Frequenz entsteht (das arithmetische Mittel der beiden Frequenzen) und sich die Amplitude, also die Lautstärke ändert. Man hat ein Additionstheorem, das man verwenden kann. Die Identität wird hier schnell gezeigt

G = 
      2 Sin[(x + y)/2] Cos[(x - y)/2]
TrigExpand[G]
Simplify[%]

Also ergibt sich für das konkrete Beispiel

S1 = 2 Sin[15 t] Cos [t]
Plot[S1, {t, 0, 12}];

Wenn wir einen Ton von 441 Hertz wählen, also unsere a-Saite leicht verstimmen, macht das für das ungeübte Ohr kaum einen Unterschied.

Aa = Sin[882 π t];

Play[A, {t, 0, 2}];

Play[Aa, {t, 0, 2}];

Die Überlagerung dieser beiden Töne, z. B. der Stimmgabel und der leicht verstimmten Saite hört man sehr wohl! Mathematica stellt die Schwebung auch sehr schön dar.

Play[A + Aa, {t, 0, 4}]

p = Pi/2 - 4/Pi*Cos[t] - 4/Pi/3^2*Cos[3  t]

Play[p, {t, 0, 30}]