In diesem Kapitel soll es um das Fitten einer Punktmenge durch eine Funktion gehen. Zu den Grundlagen aus der Vorlesung wollen wir
folgende Probleme lösen.
Punktwolke mit affin linearem Zusammenhang
Die im File wolke1.txt gegebene Punktmenge (Zeile 1: x_1, x_2 ... x_n, Zeile 2: y_1, y_2 ... y_n)
stellt verrauschte Messwerte dar, zu denen ein affin linearer Zusammenhang y=mx+n vermutet wird.
Finden Sie optimale Parameter m und n so dass die Gerade y=mx+n die Punktwolke bestmöglich approximiert.
Plotten Sie Punktwolke und Regressionsgerade.
Punktwolken mit zu bestimmenden Zusammenhang
Die beiden Punktwolken wolke2.txt und wolke3.txt stammen auch aus verrauschten
Messungen denen ein funktioneller Zusammenhang zugrunde liegt.
Folgendes ist bekannt:
Es wird vermutet, dass zwischen den Punkten aus wolke2 ein polynomieller Zusammenhang besteht.
Man nimmt an, dass bei wolke3 Winkelfunktionen der Art a_k*sin(k*x) bzw. b_k*cos(k*x) k=1...n zugrunde liegen, d.h.
wir müssen optimale Koeffizienten a_k, b_k finden und wissen bis wohin k=1 ... n laufen muss.
Finden Sie Bestapproximationen an die Punktwolken und plotten Sie diese zusammen mit den Punktwolken.
Bemerkung: Auch wenn auf vielen Webseiten etc. so etwas als Beispiel für nichtlineare Regression angegeben wird,
diese Behauptung stimmt nicht. Die zu fittende Funktion ist zwar nichtlinear, aber darum geht es nicht.
Unser Problem die Parameter zu bestimmen ist trotzdem linear.
Nichtlineare Regression wird es erst bei Aufgaben der Art y=a*exp(b*x) mit zu bestimmenden Parameter a und b.
Matlabs fit-Funktion und die Curve Fitting Toolbox
Um zu verstehen, wie das ganze funktioniert haben wir eben die ganzen Sachen "zu Fuß" programmiert.
Machen Sie sich nun mit Matlabs fit Funktion bzw. Matlabs
Curve Fitting Toolbox
vertraut und wiederholen Sie die obigen Aufgaben damit.
Ein eigenes Beispiel
Suchen sie sich eine Funktion aus, die mindestens 5 Parameter beeinhaltet, die sich mittels linearer
Regression bestimmen lassen. Diese Funktion darf auch gern einen praktischen Hintergrund haben.
Generieren Sie nun mit dieser Funktion eine verrauschte Punktwolke und bestimmen Sie die Regressionsfunktion.
Plotten Sie Punktwolke und Regressionsfunktion.
Variieren Sie die Stärke des Rauschens und ermitteln Sie bis wann noch eine sinnvolle Regression möglich ist.
