Mathematische Grundlagen der Computergeometrie (SS 2018)

• Koordinatentransformationen und Projektionen im Raum (Anwendung der linearen Algebra),
• Parameterdarstellung und Eigenschaften von Kurven und Flächen (Anwendung der Differentialrechnung),
• computerspezifische Algorithmen bei der Visualisierung,

• Übungsaufgaben: OPAL
  Schreiben Sie sich zunächst unter Opal in den Kurs Mathematische Grundlagen der Computergeometrie ein.
  Dort finden Sie Übungsaufgaben zu den Themen der Vorlesung, die Sie beliebig oft online bearbeiten können.
  Die als Hausaufgaben gekennzeichneten Tests gelten als Zulassungsvoraussetzung für die Prüfung. Jeweils 50% der Punkte bei jeder der 3 Hausaufgaben müssen erreicht werden. Dazu haben Sie jeweils drei Versuche (in einer begrenzten Zeit, ohne Unterbrechung).
  Termine für Hausaufgaben: 13.05., 10.06., 11.07.

• Darstellung von 3D-Finite-Elemente-Netzen mittels Java-Applet
  - veranschaulicht einige Probleme bei 3D-Darstellungen,
  - wird leider nicht mehr in jedem Browser angezeigt, je nach Browser-Plugin und Sicherheits-Einstellungen.

• 3D-Ansichten, die es nicht gibt (oder doch?)

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  Exponate im Glasgow Science Centre (Fotos: © privat)

  Illustrationen zu Übungsaufgabe (Dreiecksfläche mittels Spatprodukt)

  Hälfte der Grundfläche eines Spates der Höhe 1, d.h. der Determinante

  x1	x2	x3		0	x2-x1	x3-x1
  y1	y2	y3	=	0	y2-y1	y3-y1
  1	1	1		1	0	0

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• Abbildung Homogene Koordinaten (Einbettung des R²)
• Abbildung Repräsentation einer Geraden in homogenen Koordinaten bei Einbettung des R²
• Nacheinanderausführung von Drehungen um Koordinatenachsen (Berechnung der Matrizen)
• Abbildung Drehung um eine beliebige Achse (Gerade durch den Ursprung)
  
• Drehung um eine beliebige Achse durch Folge von Drehungen um Koordinatenachsen
• Abbildung zur Transformation des Koordinatensystems am Beispiel eines Quaders und zugehörige Berechnung
• Parameterdarstellung (Bedeutung des Parameters t bei Kreis und Ellipse)

• Parameterdarstellungen (Tangentenvektor am Halbkreis)

  Bei der ersten Variante hat der Tangentenvektor konstante Länge, bei der zweiten Variante nimmt dessen Länge (und damit die Geschwindigkeit entlang der Kurve) mit dem Parameter t zu.

  x=cos(t), y=sin(t),   t ∈ [0,π] x=cos(t²), y=sin(t²),   t ∈ [0,√π]

  Parameterdarstellung (Tangentenvektor bei Kardioide und Astroide)

  Kardioide: im singulären Punkt verschwindet der Tangentenvektor.

  x=(1+cos(t))cos(t), y=(1+cos(t))sin(t)

  Astroide: mit 4 singulären Punkten.

  x=cos(t)³, y=sin(t)³

• Kurve, deren Krümmung proportional zur Bogenlänge ist

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• Das begleitende Dreibein einer Kurve
• Vergleich von 3D-Abbildungen ohne und mit Schattierung: Bsp.1,   Bsp.2 .
• Behandlung gekrümmter Oberflächen durch Verfeinerung der Vernetzung: Beispiele
• Kurzfassung Skript, als Formelsammlung empfohlen (kein vollständiges Vorlesungsskript)

  Teil 1:	Analytische Geometrie
  Teil 2:	Koordinaten (affin, homogen)
  Teil 3:	Koordinatentransformationen
  Teil 4:	Projektionen
  Teil 5:	Parameterdarstellung für Kurven und Flächen
  	(mit Anhang: Übersicht Winkelfunktionen und Zusammenfassung Fundamentalgrößen)

• Übungsklausur zur Prüfungsvorbereitung, (überdeckt natürlich nicht alle möglichen Aufgabentypen)

• Encarnacao / Straßer: Computer Graphics, Akademie Verlag, 1988
• Plate: Computergrafik, Franzis-Verlag, 1988
• Pareigis: Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik, Teubner, 1990
• Bungartz / Griebel / Zenger: Einführung in die Computergraphik, Vieweg, 2002
• Kreyszig: Differentialgeometrie, Geest & Portig, Leipzig 1957
• Klotzek: Einführung in die Differentialgeometrie, Verlag Harri Deutsch, 1997
• de Berg / van Kreveld / Overmars / Schwarzkopf: Computational Geometry, Springer, 2000
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