Zugfahrt – Geschwindigkeitsverlauf
Aufgabenstellung
Ein Zug ist auf freier Strecke mit der Geschwindigkeit v_\mathrm{strecke} = 160~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} unterwegs. Vor dem nächsten Bahnhof kündigt ein Vorsignal an, dass die Einfahrt in den Bahnhof nur mit einer Höchstgeschwindigkeit von v_\mathrm{bhf} = 40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} erlaubt ist. Für den entsprechenden Bremsvorgang steht eine Strecke von s_\mathrm{br} = 1000~\mathrm m zur Verfügung.
- Wie groß muss die Bremsverzögerung mindestens sein, damit der Zug rechtzeitig die erlaubte Höchstgeschwindigkeit erreicht?
- Zeichnen Sie für diesen Vorgang folgende Diagramme:
- Ort-Zeit s(t)
- Geschwindigkeit-Zeit v(t)
- Geschwindigkeit-Ort v(s)
- Wie sehen die Diagramme aus, wenn die Änderung der Beschleunigung am Beginn und Ende des Bremsvorgangs nicht abrupt, sondern kontinuierlich erfolgt? Wie muss in diesem Fall die maximale Bremsverzögerung gewählt werden (im Vergleich zu dem in der ersten Teilaufgabe bestimmten Wert)?
Lösung Teilaufgabe 1
Für den Bremsvorgang werden die Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v_\mathrm{strecke} und ohne Anfangsweg angesetzt:
\begin{aligned} s(t) & = \frac{a}{2} t^2 + v_\mathrm{strecke}t \\ v(t) & = at + v_\mathrm{strecke} \, . \end{aligned}
Um die Zeit aus diesen Gleichungen zu eliminieren, wird angesetzt, dass nach Ablauf der Bremszeit t_\mathrm{br} die Geschwindigkeit auf v_\mathrm{bhf} abgesunken sein soll:
v_\mathrm{bhf} = at_\mathrm{br} + v_\mathrm{strecke}
beziehungsweise
t_\mathrm{br} = \frac{v_\mathrm{bhf}-v_\mathrm{strecke}}{a} \, .
Innerhalb der Bremszeit t_\mathrm{br} soll (höchstens) der Bremsweg s_\mathrm{br} zurückgelegt werden:
\begin{aligned} s_\mathrm{br} & = \frac{a}{2}t_\mathrm{br}^2 +v_\mathrm{strecke}t_\mathrm{br} \\ & = \frac{a}{2}\frac{\left(v_\mathrm{bhf}-v_\mathrm{strecke}\right)^2}{a^2} + v_\mathrm{strecke}\frac{v_\mathrm{bhf}-v_\mathrm{strecke}}{a} \\ & = \frac{v_\mathrm{bhf}^2 - v_\mathrm{strecke}^2}{2a} \, , \end{aligned}
wobei einige Schritte zur Vereinfachung der Gleichung von der zweiten zur dritten Zeile übersprungen wurden. Für die gesuchte Beschleunigung folgt daraus:
a = \frac{v_\mathrm{bhf}^2 - v_\mathrm{strecke}^2}{2 s_\mathrm{br}} = -0{,}926~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Um den Bremsweg nicht zu überschreiten, darf die gewählte Bremsverzögerung diesen Betrag nicht unterschreiten.
Lösung Teilaufgabe 2
Für die Diagramme sind drei Bewegungsphasen zu berücksichtigen, die zur besseren Unterscheidung in verschiedenen Farben in die Diagramme eingetragen werden: 1. „Vorlaufzeit“: gleichförmige Bewegung mit v_\mathrm{strecke} 2. Der eigentliche Bremsvorgang 3. gleichförmige Bewegung mit v_\mathrm{bhf}
Der Bremsvorgang beginnt zum Zeitpunkt t=0 am Ort s=0.
Lösung Teilaufgabe 3
Bei den Darstellungen aus Teilaufgabe 2 ist die Beschleunigung nicht stetig, sondern weist zu Beginn und Ende der Bremsphase abrupte Wechsel zwischen Null und Maximalwert auf. Dementsprechend zeigen die Geschwindigkeitsverläufe zu diesen Zeitpunkten einen Knick. Dieser ist sowohl im Geschwindigkeit-Zeit- als auch im Geschwindigkeit-Ort-Diagramm zu erkennen.
Wenn die Beschleunigung kontinuierlich zu- beziehungsweise abnimmt, verschwinden diese Knicke in den Geschwindigkeitsverläufen. Statt dessen entstehen gekrümmte Kurvenverläufe an den Übergängen zwischen gleichförmiger (horizontaler Kurvenverlauf) und gleichmäßig verzögerter Bewegung (linear abfallender Kurvenverlauf). Dies trifft sowohl auf die v(t)- als auch auf die v(s)-Kurve zu.
Die durchschnittliche Beschleunigung des gesamten Bremsvorgangs ist aufgrund dieser kontinuierlichen Zu- und Abnahme geringer als der Maximalwert während der gleichmäßig verzögerten Phase. Aus diesem Grund muss dieser Maximalwert größer ausfallen als unter Teilaufgabe 1 berechnet, um den vorgegebenen Bremsweg einzuhalten.
Ergänzung zu Teilaufgabe 3 – Darstellung der Diagramme
Die Aufgabenstellung verlangt nicht ausdrücklich eine Darstellung der Diagramme, sondern fragt lediglich nach deren Aussehen. Insofern ist sie auch mit einer verbalen Beschreibung bereits hinreichend beantwortet, wie dies oben gegeben ist. Zur besseren Verdeutlichung sollen an dieser Stelle nun auch die zugehörigen Diagramme gezeichnet werden.
Zu Beginn und Ende des Bremsvorgangs soll die Beschleunigung mit konstanter Rate („Ruck“) zu- beziehungsweise abnehmen. Der Großteil des Bremsvorgangs soll weiterhin mit konstanter Beschleunigung erfolgen. Damit gliedert sich der Bremsvorgang in drei Abschnitte:
- Ruckphase zu Beginn der Bremsung: Anwachsen der Verzögerung
- Gleichmäßig verzögerte Bewegung
- Ruckphase am Ende der Bremsung: Absenken der Verzögerung auf Null.
In die Diagramme sind weiterhin die gleichförmigen Bewegungen vor und nach dem Bremsvorgang dargestellt. Das Farbschema in den Diagrammen entspricht dem aus Teilaufgabe2, wobei nun auch die unterschiedlichen Phasen des Bremsvorgangs farblich abgesetzt sind. Zum besseren Vergleich enthalten die Diagramme außerdem die Daten aus Teilaufgabe 2 als gepunktete Linien.
In den Diagrammen zeigt sich das Verhalten, dass bereits zuvor in der Beantwortung der Teilaufgabe 3 beschrieben wurde: Die Knicke in den Geschwindigkeitsverläufen v(t) und v(s) sind verschwunden.
Die Ort-Zeit-Kurve s(t) weist zu Beginn und Ende des Bremsvorgangs ein anderes Krümmungsverhalten auf, da hier eine Zeitabhängigkeit \propto t^3 zu Grunde liegt. Der Unterschied ist tatsächlich aber gering, wie die Überlagerung beider Kurven im obigen Diagramm zeigt.
Für die obigen Diagramme wurde die maximale Beschleunigung auf a = -1{,}036~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} festgelegt, woraus ein Bremsweg von 1000~\mathrm m folgt.
Lösung mittels Jupyter Notebook
Ergänzend zur hier vorgestellten Lösung existiert auch ein Jupyter Notebook, das neben den Berechnungen auch die einzelnen Schritte zur Erstellung der Diagramme enthält. Voraussetzung zur Nutzung ist eine Installation von Jupyter auf dem jeweiligen Rechner. Das Notebook kann hier heruntergeladen werden.