Bremsvorgang eines Zugs
Aufgabenstellung
Ein Regionalexpress ist mit einer Geschwindigkeit von v_0 = 140~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} unterwegs. Bei der Annäherung an einen Bahnhof zeigt das Vorsignal „Halt erwarten“. Der Zug kann also nicht in den Bahnhof einfahren, sondern muss am Einfahrsignal, das sich 1000~\mathrm m nach dem Vorsignal befindet, anhalten. Der Triebfahrzeugführer (so die korrekte Bezeichnung!) startet beim Passieren des Vorsignals den Bremsvorgang des Zugs. Die Bremsverzögerung wählt er dabei so, dass der Zug genau am Einfahrsignal zum Stillstand käme.
- Welche Beschleunigung erfährt der Zug bei diesem Bremsvorgang?
- Wie sieht das Geschwindigkeits-Ort-Diagramm v(s) für diesen Bremsvorgang aus?
- Als sich der Zug noch 180~\mathrm m vor dem Einfahrsignal befindet, schaltet dieses um und gibt die Einfahrt in den Bahnhof mit einer Höchstgeschwindigkeit von v=40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} frei. Muss der Zug zu diesem Zeitpunkt noch weiter abgebremst werden oder hat er diese Höchstgeschwindigkeit bereits unterschritten?
Lösung Teil 1
Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, können Orts-Zeit-Gesetz und Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz wie folgt aufgestellt werden:
\begin{aligned} s(t) & = v_0 t - \frac 12 a t^2 \\ v(t) & = v_0 - a t \, . \end{aligned}
Da keine Information über die Zeit gegeben ist, muss diese Größe eliminiert werden. Hierfür wird das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz nach der Zeit umgestellt:
t=\frac{v_0 - v(t)}{a} \, .
Dies wird in das Orts-Zeit-Gesetz eingesetzt:
\begin{aligned} s(t) & = v_0 \frac{v_0 - v(t)}{a} - \frac12 a \left[ \frac{v_0 - v(t)}{a}\right]^2 \\ & = \frac{v_0^2 - v_0v(t)}{a} - \frac{\frac12 v_0^2 -v_0v(t)+ \frac12 v(t)^2}{a} \\ & = \frac{v_0^2 - v(t)^2}{2a} \, . \end{aligned}
Obgleich zu Beginn dieser Formel noch s(t) geschrieben war, ist die Zeit hier nicht mehr explizit enthalten. Vielmehr handelt es sich nun um einen Zusammenhang zwischen Weg s und Geschwindigkeit v. Die Verweise auf die Zeitabhängigkeiten können deshalb weggelassen werden:
s=\frac{v_0^2 - v^2}{2a} \, .
Die Bremsung des Zugs geschieht so, dass nach einem Bremsweg von s_\mathrm B = 100~\mathrm m die Geschwindigkeit v=0 beträgt. Beide Werte werden in die obige Formel eingesetzt:
s_\mathrm B=\frac{v_0^2}{2a} \, .
Für die Bremsverzögerung folgt daraus:
a = \frac{v_0^2}{2s_\mathrm B} = 0{,}76~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Lösung Teil 2
Gesucht ist das Geschwindigkeits-Ort-Gesetz, also die Geschwindigkeit als Funktion des Orts auf der Bremsstrecke. Ausgangspunkt ist der bereits im ersten Lösungsteil gefundene Zusammenhang zwischen Ort s und Geschwindigkeit v:
s=\frac{v_0^2 - v^2}{2a} \, .
Dies wird nach der Geschwindigkeit umgestellt:
v(s) = \sqrt{v_0^2 - 2as} \, .
Für die Beschleunigung a wird die oben hergeleitete Formel eingesetzt:
v(s) = \sqrt{v_0^2 - 2\frac{v_0^2}{2s_\mathrm B}s} = \sqrt{v_0^2\left( 1-\frac{s}{s_\mathrm B} \right)} \, .
Mit v_0 = 140~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} und s_\mathrm B = 1000~\mathrm m ergibt sich folgende Darstellung:
Die Geschwindigkeit nimmt auf den ersten Metern der Bremsstrecke nur langsam ab, da der Zug hier noch eine hohe Geschwindigkeit besitzt. Die Aussage, dass bei einer gleichmäßig verzögerten Bewegung (a=\mathrm{const.}) die Geschwindigkeit linear abnimmt, bezieht sich auf die Zeit, nicht auf den zurückgelegten Weg!
Lösung Teil 3
Einerseits lässt sich bereits aus dem obigen v(s)-Diagramm ablesen, dass der Zug 180~\mathrm m vor dem Einfahrsignal noch eine Geschwindigkeit von \approx 60~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} besitzt. Außerdem kann aus der Formel v(s) auch die exakte Geschwindigkeit an dieser Position bestimmt werden. Gesucht ist hier die Geschwindigkeit 180~\mathrm m vor dem Einfahrsignal, also am Ort s_1 = 820~\mathrm m:
\begin{aligned} v(s_1) & = \sqrt{v_0^2\left( 1-\frac{s_1}{s_\mathrm B} \right)} \\ & = 59{,}4~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, . \end{aligned}
Der Zug muss also weiter abbremsen um die erlaubte Höchstgeschwindigkeit zu erreichen.