Zielwerfen
Aufgabenstellung
Bei einer Spielshow sollen die Kandidaten von einer erhöhten Plattform aus Bälle auf eine auf den Boden gemalte Zielscheibe werfen. Das Zentrum der Zielscheibe (mit der Maximalpunktzahl 10) hat einen Durchmesser von D_\mathrm Z = 80~\mathrm{cm}. Die umgebenden Ringe (in absteigender Wertigkeit von 9 bis 1 Punkte) haben jeweils eine Breite von b_\mathrm R = 40~\mathrm{cm}. Der horizontale Abstand zwischen der Werferplattform und dem Mittelpunkt der Zielscheibe beträgt x_\mathrm m = 7~\mathrm m. Der Abwurf erfolgt in einer Höhe h_0 = 9~\mathrm m über dem Boden. In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass der Ball in horizontale Richtung abgeworfen wird.
- Mit welcher Geschwindigkeit muss der Kandidat den Ball abwerfen, damit genau der Mittelpunkt der Zielscheibe getroffen wird?
- Die Bewegung der Wurfarms lässt sich verständlicherweise nur mit begrenzter Genauigkeit steuern. Folglich werden einige Bälle langsamer und andere schneller als diese (unter 1. berechnete) optimale Geschwindigkeit abgeworfen. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% höheren Geschwindigkeit erfolgt?
- Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% geringeren Geschwindigkeit erfolgt?
- Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf zwar mit der (unter 1. berechneten) optimalen Geschwindigkeit erfolgt, jedoch nicht exakt Richtung Mittelpunkt der Zielscheibe, sondern mit einer seitlichen Abweichung von \alpha = 5°?
Lösung Teil 1
Da der Wurf in diesem Fall exakt in Richtung Mittelpunkt der Zielscheibe erfolgt, muss für die horizontale Komponente der Bewegung nur die x-Koordinate brücksichtigt werden. Beim horizontalen Wurf bewegt sich der Ball in waagerechter Richtung gleichförmig mit der Anfangsgeschwindigkeit:
x(t) = v_0 t \, .
Diese Bewegung überlagert sich mit der vertikalen Komponente, die einem freien Fall entspricht:
h(t) = h_0 - \frac{g}{2} t^2 \, .
Um den Mittelpunkt der Zielscheibe zu treffen, muss innerhalb der Fallzeit t_\mathrm f in horizontaler Richtung die Strecke s=x_\mathrm m zurückgelegt werden. Die Fallzeit ergibt sich aus der vertikalen Komponente:
h(t_\mathrm f) =h_0-\frac g2 t_\mathrm f^2 = 0 \, .
Nach Umstellen ergibt sich:
t_\mathrm f = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \, .
Die optimale Abwurfgeschwindigkeit v_\mathrm{opt} ist gefunden, wenn gilt
x_\mathrm m = v_\mathrm{opt}t_\mathrm f \, .
Daraus ergibt sich
v_\mathrm{opt} = \frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f} = \sqrt{\frac{x_\mathrm m^2 g}{2h_0}} = 5{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .
Lösung Teil 2
Die Wurfweite ist die innerhalb der Fallzeit t_\mathrm f zurückgelegte horizontale Strecke:
x_\mathrm w = x(t=t_\mathrm f) = v_0t_\mathrm f \, .
Für die Abwurfgeschwindigkeit gilt in diesem Fall:
v_0 =1{,}25 \cdot v_\mathrm{opt} = 1{,}25 \frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f} \, .
Für die Wurfweite ergibt sich daraus:
x_\mathrm w = v_0t_\mathrm f = 1{,}25\frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f}t_\mathrm f = 1{,}25 \cdot x_\mathrm m = 8{,}75~\mathrm m\, .
Die Wurfweite ist proportional zur Abwurfgeschwindigkeit. Der Mittelpunkt der Zielscheibe wird um \Delta s = 1{,}75~\mathrm m verfehlt. Mit zunehmender Entfernung vom Mittelpunkt der Zielscheibe reduziert sich die erreichte Punktzahl nach jeweils 40~\mathrm{cm} um einen Punkt:
| Entfernung vom Mittelpunkt | Punktzahl |
|---|---|
| \Delta s\le 0{,}4~\mathrm m | 10 |
| 0{,}4~\mathrm m \lt \Delta s\le 0{,}8~\mathrm m | 9 |
| 0{,}8~\mathrm m \lt \Delta s\le 1{,}2~\mathrm m | 8 |
| 1{,}2~\mathrm m \lt \Delta s\le 1{,}6~\mathrm m | 7 |
| 1{,}6~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}0~\mathrm m | 6 |
| 2{,}0~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}4~\mathrm m | 5 |
| 2{,}4~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}8~\mathrm m | 4 |
| 2{,}8~\mathrm m \lt \Delta s\le 3{,}2~\mathrm m | 3 |
| 3{,}2~\mathrm m \lt \Delta s\le 3{,}6~\mathrm m | 2 |
| 3{,}6~\mathrm m \lt \Delta s\le 4{,}0~\mathrm m | 1 |
| \Delta s\gt 4{,}0~\mathrm m | 0 |
Folglich werden bei diesem Wurf 6 Punkte erreicht.
Lösung Teil 3
Wie bei Teilaufgabe 2 gezeigt, verhält sich die Wurfweite proportional zur Abwurfgeschwindigkeit. Folglich wird auch bei diesem Wurf der Mittelpunkt um \Delta s = 1{,}75~\mathrm m verfehlt und der Werfer erhält 6 Punkte.
Lösung Teil 4
Da der Ball mit der optimalen Geschwindigkeit abgeworfen wurde, beträgt die Wurfweite s_\mathrm w = x_\mathrm m = 7~\mathrm m. Da der Wurf jedoch nicht in gerader Linie auf das Zentrum der Zielscheibe hin erfolgte, sind nun x- und y-Koordinate des Auftreffpunkts zu berücksichtigen:
\begin{aligned} x_\mathrm w & = s_\mathrm w \cos\alpha \\ y_\mathrm w & = s_\mathrm w \sin\alpha \, . \end{aligned}
Für die Entfernung zum Mittelpunkt der Zielscheibe ergibt sich daraus:
\Delta s = \sqrt{\left( x_\mathrm w - x_\mathrm m\right)^2 + \left( y_\mathrm w - y_\mathrm m\right)^2} \, .
Mit x_\mathrm m = s_\mathrm w und y_\mathrm m = 0 folgt
\Delta s = \sqrt{\left( s_\mathrm w \cos\alpha - s_\mathrm w \right)^2 + \left( s_\mathrm w \sin\alpha \right)^2} \, .
Prinzipiell kann diese Formel zur Berechnung des Abstands \Delta s bereits genutzt werden. Sie lässt sich jedoch auch noch weiter vereinfachen:
\begin{aligned} \Delta s & = \sqrt{s_\mathrm w^2 \left( \cos\alpha -1 \right)^2 + s_\mathrm w^2 \sin^2\alpha} \\ & = \sqrt{s_\mathrm w^2 \left[ \left( \cos\alpha -1 \right)^2 + \sin^2\alpha \right]} \\ & = s_\mathrm w\sqrt{\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 + \sin^2\alpha} \\ & = s_\mathrm w\sqrt{2\left( 1-\cos\alpha \right)} \, . \end{aligned}
Mit s_\mathrm w= 7~\mathrm m und \alpha = 5° ergibt sich eine Abweichung vom Mittelpunkt von
\Delta s = 0{,}61 ~\mathrm m \, .
Mit diesem Wurf werden folglich 9 Punkte erzielt.