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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Zielwerfen

Aufgabenstellung

Bei einer Spielshow sollen die Kandidaten von einer erhöhten Plattform aus Bälle auf eine auf den Boden gemalte Zielscheibe werfen. Das Zentrum der Zielscheibe (mit der Maximalpunktzahl 10) hat einen Durchmesser von DZ=80 cmD_\mathrm Z = 80~\mathrm{cm}. Die umgebenden Ringe (in absteigender Wertigkeit von 9 bis 1 Punkte) haben jeweils eine Breite von bR=40 cmb_\mathrm R = 40~\mathrm{cm}. Der horizontale Abstand zwischen der Werferplattform und dem Mittelpunkt der Zielscheibe beträgt xm=7 mx_\mathrm m = 7~\mathrm m. Der Abwurf erfolgt in einer Höhe h0=9 mh_0 = 9~\mathrm m über dem Boden. In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass der Ball in horizontale Richtung abgeworfen wird.

  1. Mit welcher Geschwindigkeit muss der Kandidat den Ball abwerfen, damit genau der Mittelpunkt der Zielscheibe getroffen wird?
  2. Die Bewegung der Wurfarms lässt sich verständlicherweise nur mit begrenzter Genauigkeit steuern. Folglich werden einige Bälle langsamer und andere schneller als diese (unter 1. berechnete) optimale Geschwindigkeit abgeworfen. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% höheren Geschwindigkeit erfolgt?
  3. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% geringeren Geschwindigkeit erfolgt?
  4. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf zwar mit der (unter 1. berechneten) optimalen Geschwindigkeit erfolgt, jedoch nicht exakt Richtung Mittelpunkt der Zielscheibe, sondern mit einer seitlichen Abweichung von α=5°\alpha = 5°?

Lösung Teil 1

Da der Wurf in diesem Fall exakt in Richtung Mittelpunkt der Zielscheibe erfolgt, muss für die horizontale Komponente der Bewegung nur die xx-Koordinate brücksichtigt werden. Beim horizontalen Wurf bewegt sich der Ball in waagerechter Richtung gleichförmig mit der Anfangsgeschwindigkeit:

x(t)=v0t.x(t) = v_0 t \, .

Diese Bewegung überlagert sich mit der vertikalen Komponente, die einem freien Fall entspricht:

h(t)=h0g2t2.h(t) = h_0 - \frac{g}{2} t^2 \, .

Um den Mittelpunkt der Zielscheibe zu treffen, muss innerhalb der Fallzeit tft_\mathrm f in horizontaler Richtung die Strecke s=xms=x_\mathrm m zurückgelegt werden. Die Fallzeit ergibt sich aus der vertikalen Komponente:

h(tf)=h0g2tf2=0.h(t_\mathrm f) =h_0-\frac g2 t_\mathrm f^2 = 0 \, .

Nach Umstellen ergibt sich:

tf=2h0g.t_\mathrm f = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} \, .

Die optimale Abwurfgeschwindigkeit voptv_\mathrm{opt} ist gefunden, wenn gilt

xm=vopttf.x_\mathrm m = v_\mathrm{opt}t_\mathrm f \, .

Daraus ergibt sich

vopt=xmtf=xm2g2h0=5,2 ms.v_\mathrm{opt} = \frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f} = \sqrt{\frac{x_\mathrm m^2 g}{2h_0}} = 5{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .

Lösung Teil 2

Die Wurfweite ist die innerhalb der Fallzeit tft_\mathrm f zurückgelegte horizontale Strecke:

xw=x(t=tf)=v0tf.x_\mathrm w = x(t=t_\mathrm f) = v_0t_\mathrm f \, .

Für die Abwurfgeschwindigkeit gilt in diesem Fall:

v0=1,25vopt=1,25xmtf.v_0 =1{,}25 \cdot v_\mathrm{opt} = 1{,}25 \frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f} \, .

Für die Wurfweite ergibt sich daraus:

xw=v0tf=1,25xmtftf=1,25xm=8,75 m.x_\mathrm w = v_0t_\mathrm f = 1{,}25\frac{x_\mathrm m}{t_\mathrm f}t_\mathrm f = 1{,}25 \cdot x_\mathrm m = 8{,}75~\mathrm m\, .

Die Wurfweite ist proportional zur Abwurfgeschwindigkeit. Der Mittelpunkt der Zielscheibe wird um Δs=1,75 m\Delta s = 1{,}75~\mathrm m verfehlt. Mit zunehmender Entfernung vom Mittelpunkt der Zielscheibe reduziert sich die erreichte Punktzahl nach jeweils 40 cm40~\mathrm{cm} um einen Punkt:

Entfernung vom Mittelpunkt Punktzahl
Δs0,4 m\Delta s\le 0{,}4~\mathrm m 10
0,4 m<Δs0,8 m0{,}4~\mathrm m \lt \Delta s\le 0{,}8~\mathrm m 9
0,8 m<Δs1,2 m0{,}8~\mathrm m \lt \Delta s\le 1{,}2~\mathrm m 8
1,2 m<Δs1,6 m1{,}2~\mathrm m \lt \Delta s\le 1{,}6~\mathrm m 7
1,6 m<Δs2,0 m1{,}6~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}0~\mathrm m 6
2,0 m<Δs2,4 m2{,}0~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}4~\mathrm m 5
2,4 m<Δs2,8 m2{,}4~\mathrm m \lt \Delta s\le 2{,}8~\mathrm m 4
2,8 m<Δs3,2 m2{,}8~\mathrm m \lt \Delta s\le 3{,}2~\mathrm m 3
3,2 m<Δs3,6 m3{,}2~\mathrm m \lt \Delta s\le 3{,}6~\mathrm m 2
3,6 m<Δs4,0 m3{,}6~\mathrm m \lt \Delta s\le 4{,}0~\mathrm m 1
Δs>4,0 m\Delta s\gt 4{,}0~\mathrm m 0

Folglich werden bei diesem Wurf 6 Punkte erreicht.

Lösung Teil 3

Wie bei Teilaufgabe 2 gezeigt, verhält sich die Wurfweite proportional zur Abwurfgeschwindigkeit. Folglich wird auch bei diesem Wurf der Mittelpunkt um Δs=1,75 m\Delta s = 1{,}75~\mathrm m verfehlt und der Werfer erhält 6 Punkte.

Lösung Teil 4

Da der Ball mit der optimalen Geschwindigkeit abgeworfen wurde, beträgt die Wurfweite sw=xm=7 ms_\mathrm w = x_\mathrm m = 7~\mathrm m. Da der Wurf jedoch nicht in gerader Linie auf das Zentrum der Zielscheibe hin erfolgte, sind nun xx- und yy-Koordinate des Auftreffpunkts zu berücksichtigen:

xw=swcosαyw=swsinα.\begin{aligned} x_\mathrm w & = s_\mathrm w \cos\alpha \\ y_\mathrm w & = s_\mathrm w \sin\alpha \, . \end{aligned}

Für die Entfernung zum Mittelpunkt der Zielscheibe ergibt sich daraus:

Δs=(xwxm)2+(ywym)2.\Delta s = \sqrt{\left( x_\mathrm w - x_\mathrm m\right)^2 + \left( y_\mathrm w - y_\mathrm m\right)^2} \, .

Mit xm=swx_\mathrm m = s_\mathrm w und ym=0y_\mathrm m = 0 folgt

Δs=(swcosαsw)2+(swsinα)2.\Delta s = \sqrt{\left( s_\mathrm w \cos\alpha - s_\mathrm w \right)^2 + \left( s_\mathrm w \sin\alpha \right)^2} \, .

Prinzipiell kann diese Formel zur Berechnung des Abstands Δs\Delta s bereits genutzt werden. Sie lässt sich jedoch auch noch weiter vereinfachen:

Δs=sw2(cosα1)2+sw2sin2α=sw2[(cosα1)2+sin2α]=swcos2α2cosα+1+sin2α=sw2(1cosα).\begin{aligned} \Delta s & = \sqrt{s_\mathrm w^2 \left( \cos\alpha -1 \right)^2 + s_\mathrm w^2 \sin^2\alpha} \\ & = \sqrt{s_\mathrm w^2 \left[ \left( \cos\alpha -1 \right)^2 + \sin^2\alpha \right]} \\ & = s_\mathrm w\sqrt{\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 + \sin^2\alpha} \\ & = s_\mathrm w\sqrt{2\left( 1-\cos\alpha \right)} \, . \end{aligned}

Mit sw=7 ms_\mathrm w= 7~\mathrm m und α=5°\alpha = 5° ergibt sich eine Abweichung vom Mittelpunkt von

Δs=0,61 m.\Delta s = 0{,}61 ~\mathrm m \, .

Mit diesem Wurf werden folglich 9 Punkte erzielt.