Weinflasche
Aufgabenstellung
Eine Weinflasche ist mit einem Korken verschlossen. Dieser hat eine Höhe von h = 4~\mathrm{cm} und steckt vollständig im Flaschenhals, sodass er mit dem oberen Rand der Flasche abschließt. Unterhalb des Korkens befindet sich in der Flasche eine 2~\mathrm{cm} hohe Luftsäule. Der Rest der Flasche ist mit Wein gefüllt. Der Flaschenhals hat einen Durchmesser von 2~\mathrm{cm}. Anfangs befinde sich die Flasche und ihr gesamter Inhalt auf Raumtemperatur (\vartheta_1 = 23~\mathrm{°C}) und der Druck im Inneren entspreche dem normalen Luftdruck (p = 101{,}3~\mathrm{kPa}). Die Luft kann in beiden Fällen als ideales Gas aufgefasst werden.
- Der Korken wird nun mit einem Korkenzieher herausgezogen. Welcher Druck herrscht in der Flasche, unmittelbar bevor der Korken komplett entfernt ist? Es wird davon ausgegangen, dass der Korken dicht schließt (es kann also keine Luft in die Flasche nachströmen) und dass am Wein keinerlei Veränderungen erfolgen.
- Bei einer anderen Art des Öffnens soll die eingeschlossene Luft soweit erhitzt werden, dass der Korken durch den entstehenden Überdruck aus der Flasche herausgedrückt wird. Damit sich der Korken in Bewegung setzt, muss auf ihn eine Kraft von F = 250~\mathrm N wirken. Auf welche Temperatur muss die eingeschlossene Luft hierfür erhitzt werden? Auch hier sollen Temperaturänderungen des Weins unberücksichtigt bleiben.
Lösung Teil 1
Ausgangspunkt ist die Zustandsgleichung des idealen Gases:
pV = nRT \, .
Die Aufgabenstellung fragt nach dem Zusammenhang zwischen Volumen und Druck. Da keine weiteren Angaben zur Temperatur gemacht sind, wird von einem isothermen (T = \mathrm{const}) Vorgang ausgegangen. Dann gilt
p_1 V_1 = nRT = p_2 V_2 \, ,
beziehungsweise
p_2 = \frac{V_1}{V_2} p_1 \, .
Das Volumen ist nicht direkt gegeben, lässt sich aber aus Durchmesser und Höhe der Luftsäule bestimmen:
V_1 = \frac{\pi}{4} d^2 h_1 \quad \textrm{und} \quad V_2 = \frac{\pi}{4}d^2h_2 \, .
Für h_2 gilt dabei: h_2 = 6~\mathrm{cm}. Für den Enddruck folgt dann:
p_2 = \frac{h_1}{h_2}p_1 = 33,77~\mathrm{kPa} \, .
Lösung Teil 2
Auch hier wird die Zustandsgleichung des idealen Gases angesetzt, wobei jetzt ein isochorer Vorgang (V=\mathrm{const}) vorliegt und der Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur gesucht ist:
\frac{p_1}{T_1} = \frac{nR}{V} = \frac{p_2}{T_2}
beziehungsweise
T_2 = \frac{p_2}{p_1}T_1 \, .
Der erforderliche Enddruck ergibt sich aus der gegebenen Kraft auf den Korken:
p_2 = \frac{F}{A} = \frac{F}{\frac{\pi}{4}d^2} = \frac{4F}{\pi d^2} \, ,
wobei die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwendet wurde. Für die gesuchte Temperatur bedeutet das:
T_2 = \frac{4F}{\pi d^2}\frac{T_1}{p_1} = 2326~\mathrm{K}
beziehungsweise
\vartheta_2 = 2053~\mathrm{°C}
Anmerkungen
- Selbstverständlich muss in den Formeln stets die absolute Temperatur (in Kelvin) eingesetzt werden. Im hier dargestellten Lösungsweg wurden die jeweiligen Umrechnungen nicht explizit aufgeführt.
- Tatsächlich wird sich eine Erwärmung der Luft in der Flasche wie im zweiten Aufgabenteil nicht realisieren lassen, ohne auch den Wein zu erwärmen. Durch die Verdunstung von Wein in der Flasche wäre dann die Stoffmenge des Gases nicht mehr konstant und eine exakte Berechnung kaum noch möglich.
- Die Inspiration für diese Rechenaufgabe entstammt dem Buch „Physik mit Barrique“ von Lutz Kasper und Patrik Vogt (Springer 2022)