Vektoren
Zahlreiche Größen der Physik sind neben ihrem Betrag (einschließlich Einheit) auch durch eine Richtung gekennzeichnet (z.B. Geschwindigkeit, Kraft). Diese gerichteten (oder vektoriellen) Größen werden mathematisch durch Vektoren beschrieben. Das Gegenstück zu den vektoriellen Größen bilden skalare Größen, die nur duch ihren Betrag gekennzeichnet sind (z.B. Masse. Energie).
Veranschaulicht werden Vektoren durch Pfeile, deren Länge den Betrag den Betrag des Vektors widerspiegelt. In einem kartesischen Koordinatensystem werden Vektoren angegeben durch ihre Komponenten in x-, y- und z-Richtung:
\vec a = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z \end{pmatrix} \, .
Alternativ kann ein Vektor als Betrag und Richtung angegeben werden:
\vec a = \left |\vec a \right | \cdot \vec e_a \, ,
wobei der Ausdruck \vec e_a einen sogenannten Einheitsvektor mit dem Betrag 1 bezeichnet. Einheitsvektoren können für beliebige Richtungen angegeben werden. Von grundlegender Bedeutung sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen:
\vec e_x =\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_y =\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_z =\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \, . Damit kann ein Vektor auch in der Form
\vec a = a_\mathrm x\vec e_x + a_\mathrm y\vec e_y + a_\mathrm z\vec e_z
angegeben werden.
Aufgabe 1: Rechenregeln für Vektoren
Vervollständigen Sie die folgenden Rechenregeln für Vektoren:
- Addition von Vektoren: \vec a + \vec b =
- Subtraktion von Vektoren: \vec a - \vec b =
- Multiplikation mit einem Skalar: c\cdot\vec a =
- Berechnung des Betrags: \left |\vec a\right | =
- Berechnung eines Einheitsvektors: \vec e_a =
- Gelten für die Vektoraddition das Kommutativ- und das Assoziativgesetz?
Aufgabe 2: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist das Produkt zweier Vektoren, das eine Zahl (Skalar) ergibt. Es wird durch einen Punkt dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen:
- Berechnung des Skalarprodukts: \vec a\cdot\vec b =
- Wie verhält sich das Skalarprodukt bei parallelen bzw. bei zueinander senkrechten Vektoren?
- Gelten für das Skalarprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)?
- Wie lässt sich das Skalarprodukt geometrisch veranschaulichen?
Aufgabe 3: Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) ist das Produkt zweier Vektoren, das einen Vektor ergibt. Es wird durch ein Kreuz dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen:
- Berechnung des Kreuzprodukts: \vec a \times\vec b = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_\mathrm x \\ b_\mathrm y \\ b_\mathrm z\end{pmatrix}=
- Betrag des Kreuzprodukts: \left | \vec a \times \vec b \right | =
- Welche Orientierung besitzt der Ergebnisvektor des Kreuzprodukts (bezogen auf die beiden Ausgangsvektoren)?
- Wie verhält sich das Kreuzprodukt bei parallen bzw. zueinander senkrechten Vektoren?
- Wie lassen sich Richtung und Betrag des Kreuzprodukts geometrisch veranschaulichen?
- Wie verhalten sich die Kreuzprodukte der Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen: \vec e_x \times \vec e_y = \vec e_y \times \vec e_z = \vec e_z \times \vec e_x =
- Gelten für das Kreuzprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)?
Lösung 1: Rechenregeln für Vektoren
Addition von Vektoren: \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \\ a_z + b_z\end{pmatrix}
Subtraktion von Vektoren: \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \\ a_z - b_z\end{pmatrix}
Multiplikation mit einem Skalar: c\cdot\vec a = \begin{pmatrix} c\cdot a_x \\ c\cdot a_y \\ c\cdot a_z \end{pmatrix}
Berechnung des Betrags: \left |\vec a\right | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}
Berechnung eines Einheitsvektors: \vec e_a = \frac{1}{\left |\vec a\right |} \cdot \vec a
Gelten für die Vektoraddition das Kommutativ- und das Assoziativgesetz?
Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten, da sich die Vektoraddition komponentenweise auf die skalare Addition zurückführen lässt.
Lösung 2: Skalarprodukt
Berechnung des Skalarprodukts: \vec a\cdot\vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \cos\angle (\vec a, \vec b)
Wie verhält sich das Skalarprodukt bei parallelen bzw. bei zueinander senkrechten Vektoren?
\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \quad \textrm{für} \quad \vec a \parallel \vec b
\vec a \cdot \vec b = 0 \quad \textrm{für} \quad \vec a \perp \vec b
Gelten für das Skalarprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)?
Das Kommutativgesetz gilt:
\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a
Das Assoziativgesetz gilt nicht:
\vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c) \ne (\vec a \cdot \vec b) \cdot \vec c
Das Produkt auf der linken Seite erzeugt einen Vektor parallel zu \vec a, während auf der rechten Seite eine Vektor parallel zu \vec c entsteht.
Das Distributivgesetz gilt:
\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c
Wie lässt sich das Skalarprodukt geometrisch veranschaulichen?
Das Skalarprodukt \vec a \cdot \vec b entspricht der Projektion des Vektors \vec a auf die Richtung von \vec b (und umgekehrt).
Lösung 3: Kreuzprodukt
Berechnung des Kreuzprodukts: \vec a \times\vec b = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_\mathrm x \\ b_\mathrm y \\ b_\mathrm z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}
Betrag des Kreuzprodukts: \left | \vec a \times \vec b \right | = \left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right| \cdot\sin\angle(\vec a,\vec b)
Welche Orientierung besitzt der Ergebnisvektor des Kreuzprodukts (bezogen auf die beiden Ausgangsvektoren)?
Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren.
Wie verhält sich das Kreuzprodukt bei parallen bzw. zueinander senkrechten Vektoren?
\vec a \times \vec b = \vec 0 \quad \textrm{für} \quad \vec a \parallel \vec b
\left|\vec a \times \vec b\right| = \left|\vec a\right| \cdot\left|\vec b\right| \quad \textrm{für} \quad \vec a \perp \vec b
Wie lassen sich Richtung und Betrag des Kreuzprodukts geometrisch veranschaulichen?
Der Betrag des durch das Kreuzprodukt entstandenen Vektors entspricht dem Flächeninhalt des durch die beiden Ausgangsvektoren aufgespannten Parallelogramms. Seine Richtung entspricht der Normalen dieses Parallelogramms.
Wie verhalten sich die Kreuzprodukte der Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen: \vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z \vec e_y \times \vec e_z = \vec e_x \vec e_z \times \vec e_x = \vec e_y
Gelten für das Kreuzprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)?
Das Kreuzprodukt verhält sich antikommutativ:
\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a
Das Assoziativgesetz gilt nicht:
\vec a \times \left(\vec b \times \vec c\right) \ne \left(\vec a \times \vec b \right) \times \vec c
Auf der linken Seite entsteht ein Vektor in der \left(\vec b,\vec c\right)-Ebene. Das Ergebnis auf der rechten Seite liegt in der \left(\vec a,\vec b\right)-Ebene. Für derartige doppelte Kreuzprodukte existiert eine eigene Berechnungsvorschrift.
Das Distributivgesetz gilt:
\vec a \times \left(\vec b + \vec c\right) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c