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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Vektoren

Zahlreiche Größen der Physik sind neben ihrem Betrag (einschließlich Einheit) auch durch eine Richtung gekennzeichnet (z.B. Geschwindigkeit, Kraft). Diese gerichteten (oder vektoriellen) Größen werden mathematisch durch Vektoren beschrieben. Das Gegenstück zu den vektoriellen Größen bilden skalare Größen, die nur duch ihren Betrag gekennzeichnet sind (z.B. Masse. Energie).

Veranschaulicht werden Vektoren durch Pfeile, deren Länge den Betrag den Betrag des Vektors widerspiegelt. In einem kartesischen Koordinatensystem werden Vektoren angegeben durch ihre Komponenten in x-, y- und z-Richtung:

\vec a = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z \end{pmatrix} \, .

Alternativ kann ein Vektor als Betrag und Richtung angegeben werden:

\vec a = \left |\vec a \right | \cdot \vec e_a \, ,

wobei der Ausdruck \vec e_a einen sogenannten Einheitsvektor mit dem Betrag 1 bezeichnet. Einheitsvektoren können für beliebige Richtungen angegeben werden. Von grundlegender Bedeutung sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen:

\vec e_x =\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_y =\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_z =\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \, . Damit kann ein Vektor auch in der Form

\vec a = a_\mathrm x\vec e_x + a_\mathrm y\vec e_y + a_\mathrm z\vec e_z

angegeben werden.

Aufgabe 1: Rechenregeln für Vektoren

Vervollständigen Sie die folgenden Rechenregeln für Vektoren:

Aufgabe 2: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist das Produkt zweier Vektoren, das eine Zahl (Skalar) ergibt. Es wird durch einen Punkt dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen:

Aufgabe 3: Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) ist das Produkt zweier Vektoren, das einen Vektor ergibt. Es wird durch ein Kreuz dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen:

Lösung 1: Rechenregeln für Vektoren

Lösung 2: Skalarprodukt

Lösung 3: Kreuzprodukt