Uhrzeiger
Aufgabenstellung
In analogen Uhren wird die Uhrzeit durch Stunden-, Minuten- und Sekundenzeiger (letzterer nur bei kleineren Uhren) angezeigt. Diese Zeiger führen eine permanente Rotationsbewegung aus. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese Bewegung. Beurteilen Sie deren Richtigkeit.
Hinweis: In vielen Uhren bewegen sich sie Zeiger schrittweise vorwärts, was einer ungleichförmigen Rotation entspricht. Für die folgenden Aussagen wird hingegen davon ausgegangen, dass sich die Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen (gleichförmige Rotation).
| Aussage | Richtig | Falsch |
|---|---|---|
| Der Minutenzeiger hat eine Winkelgeschwindigkeit von \omega = \frac{\pi}{1800}~\mathrm s^{-1}. | ||
| Bei größeren Uhren erreicht die Zeigerspitze des Minuten- oder Stundenzeigers eine höhere Bahngeschwindigkeit als bei kleineren. | ||
| Der Stundenzeiger benötigt 2 Minuten, um sich um einen Winkel von 1° weiterzubewegen. | ||
| Innerhalb eines beliebigen 60-Minuten-Intervalls liegen Stunden- und Minutenzeiger mindestens einmal exakt übereinander (d.h. beide Zeiger zeigen in dieselbe Richtung). | ||
| Die Winkelgeschwindigkeit des Sekundenzeigers beträgt stets das 60-fache der Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers. | ||
| Die Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze des Sekundenzeigers beträgt stets das 60-fache der Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze des Minutenzeigers. |
Lösung
- Der Minutenzeiger hat eine Winkelgeschwindigkeit von \omega = \frac{\pi}{1800}~\mathrm s^{-1}.
- Richtig: Der Minutenzeiger überstreicht einen Vollkreis innerhalb einer Stunde; d.h. einen Winkel von 2\pi innerhalb von 3600~\mathrm s.
- Bei größeren Uhren erreicht die Zeigerspitze des Minuten- oder Stundenzeigers eine höhere Bahngeschwindigkeit als bei kleineren.
- Richtig: Die Bahngeschwindigkeit eines Punkts auf einer Kreisbahn ist proportional zum Radius dieser Kreisbahn. Dieser Radius entspricht der Länge des Zeigers.
- Der Stundenzeiger benötigt 2 Minuten, um sich um einen Winkel von 1° weiterzubewegen.
- Richtig: Der Stundenzeiger benötigt für einen Vollkreis zwölf Stunden. In einer Stunde wird demnach ein Winkel von 30° (\frac{1}{12} eines Vollkreises) zurückgelegt.
- Innerhalb eines beliebigen 60-Minuten-Intervalls liegen Stunden- und Minutenzeiger mindestens einmal exakt übereinander (d.h. beide Zeiger zeigen in dieselbe Richtung).
- Falsch: Die Differenzgeschwindigkeit beider Zeiger ist kleiner als 2\pi~\mathrm h^{-1}. Folglich vergeht mehr als eine Stunden zwischen zwei Begegnungen beider Zeiger. Nur wenn der Stundenzeiger sich nicht bewegen würde, würde er nach exakt einer Stunde wieder vom Minutenzeiger erreicht.
- Die Winkelgeschwindigkeit des Sekundenzeigers beträgt stets das 60-fache der Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers.
- Richtig: Innerhalb einer Stunde überstreicht der Sekundenzeiger 60 mal einen Vollkreis, während der Minutenzeiger eine Umdrehung zurücklegt.
- Die Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze des Sekundenzeigers beträgt stets das 60-fache der Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze des Minutenzeigers.
- Falsch: Das Verhältnis 1:60 gilt zunächst einmal für die Winkelgeschwindigkeiten. Für die Bahngeschwindigkeiten ist zudem der Bahnradius entscheidend. Sind die beiden Zeiger unterschiedlich lang, trifft dieses Verhältnis auf die Bahngeschwindigkeiten nicht zu.