Teekanne
Aufgabenstellung
Bei der Zubereitung eines Tees werden m_\mathrm w = 850~\mathrm g kochendes Wasser in eine Teekanne aus Keramik (Masse m_\mathrm k = 880~\mathrm g, spezifische Wärmekapazität c_\mathrm k = 0{,}73~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}) gegossen. Welche Temperatur \vartheta_\mathrm m hat das Wasser nach dem Temperaturausgleich mit der Kanne? Vor dem Befüllen besaß die Kanne Raumtemperatur (\vartheta_\mathrm k = 22~\mathrm{°C}). Wärmeabgabe an die Umgebung darf vernachlässigt werden.
Lösung
Der Temperaturausgleich erfolgt, indem Wärme vom Wasser auf die Kanne übertragen wird und endet, wenn beide Systeme die gleiche Temperatur T_\mathrm m beziehungsweise \vartheta_\mathrm m haben. Dabei gibt das Wasser die Wärme
|Q_\mathrm{ab}| = m_\mathrm w c_\mathrm w (T_\mathrm w - T_\mathrm m)
ab. Die Kanne nimmt die Wärme
|Q_\mathrm{auf}| = m_\mathrm k c_\mathrm k (T_\mathrm m - T_\mathrm k)
auf. Da keine Wärmeabgabe an die Umgebung erfolgen soll, gilt |Q_\mathrm{ab}| = |Q_\mathrm{auf}|:
m_\mathrm w c_\mathrm w (T_\mathrm w - T_\mathrm m) = m_\mathrm k c_\mathrm k (T_\mathrm m - T_\mathrm k) \, .
Die Klammern werden aufgelöst und die einzelnen Terme nach den Temperaturen T_\mathrm w, T_\mathrm m und T_\mathrm k sortiert:
(m_\mathrm w c_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k)T_\mathrm m = m_\mathrm w c_\mathrm w T_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k T_\mathrm k \, .
Für die gesuchte Ausgleichstemperatur folgt daraus:
T_\mathrm m = \frac{m_\mathrm w c_\mathrm w T_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k T_\mathrm k}{m_\mathrm w c_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k} = 361~\mathrm K
beziehungsweise
\vartheta_\mathrm m = 88~\mathrm{°C} \, .