Aufgabensammlung Experimentalphysik

Teekanne

Aufgabenstellung

Bei der Zubereitung eines Tees werden $m_\mathrm w = 850~\mathrm g$ kochendes Wasser in eine Teekanne aus Keramik (Masse $m_\mathrm k = 880~\mathrm g$, spezifische Wärmekapazität $c_\mathrm k = 0{,}73~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}$) gegossen. Welche Temperatur $\vartheta_\mathrm m$ hat das Wasser nach dem Temperaturausgleich mit der Kanne? Vor dem Befüllen besaß die Kanne Raumtemperatur ($\vartheta_\mathrm k = 22~\mathrm{°C}$). Wärmeabgabe an die Umgebung darf vernachlässigt werden.

Lösung

Der Temperaturausgleich erfolgt, indem Wärme vom Wasser auf die Kanne übertragen wird und endet, wenn beide Systeme die gleiche Temperatur $T_\mathrm m$ beziehungsweise $\vartheta_\mathrm m$ haben. Dabei gibt das Wasser die Wärme

$|Q_\mathrm{ab}| = m_\mathrm w c_\mathrm w (T_\mathrm w - T_\mathrm m)$

ab. Die Kanne nimmt die Wärme

$|Q_\mathrm{auf}| = m_\mathrm k c_\mathrm k (T_\mathrm m - T_\mathrm k)$

auf. Da keine Wärmeabgabe an die Umgebung erfolgen soll, gilt $|Q_\mathrm{ab}| = |Q_\mathrm{auf}|$:

$m_\mathrm w c_\mathrm w (T_\mathrm w - T_\mathrm m) = m_\mathrm k c_\mathrm k (T_\mathrm m - T_\mathrm k) \, .$

Die Klammern werden aufgelöst und die einzelnen Terme nach den Temperaturen $T_\mathrm w$, $T_\mathrm m$ und $T_\mathrm k$ sortiert:

$(m_\mathrm w c_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k)T_\mathrm m = m_\mathrm w c_\mathrm w T_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k T_\mathrm k \, .$

Für die gesuchte Ausgleichstemperatur folgt daraus:

$T_\mathrm m = \frac{m_\mathrm w c_\mathrm w T_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k T_\mathrm k}{m_\mathrm w c_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm k} = 361~\mathrm K$

beziehungsweise

$\vartheta_\mathrm m = 88~\mathrm{°C} \, .$