Aufgabensammlung Experimentalphysik

Sonnenuntergang

Aufgabenstellung

Die Zeit des Sonnenuntergangs variiert im Jahresverlauf – abhängig von der geografischen Breite – deutlich.

1. Um wieviele Minuten verschiebt sich maximal die Zeit des Sonnenuntergangs von einem Tag zum nächsten? Entwickeln Sie hierzu ein Modell, anhand dessen Sie die Veränderung der Sonnenuntergangszeit berechnen können.
2. Prüfen Sie Ihr Modell anhand tabellierter Sonnenuntergangszeiten. Diskutieren Sie etwaige Unterschiede.

Lösung Teilaufgabe 1

Das Modell zur Beschreibung der Sonnenuntergangszeit beruht auf folgenden Annahmen:

• Die Entwicklung der Sonnenuntergangszeit im Jahresverlauf wird durch eine Sinusfunktion beschrieben.
• Der Mittelwert zwischen frühestem (Sommersonnenwende) und spätestem (Wintersonnenwende) Sonnenuntergang wird als $t_\mathrm m$ mit 18:00 Uhr angesetzt. Für die Berechnung der täglichen Änderung ist diese Größe jedoch unerheblich.
• Die Schwankung der Sonnenuntergangszeit im Jahresverlauf $\Delta t_\mathrm{jahr}$ wird durch die geographische Breite des Betrachtungsorts bestimmt. Passend für Deutschland wird $\Delta t_\mathrm{jahr} = 4~\mathrm h$ angesetzt. Das entspricht einem Sonnenuntergang um 16 Uhr (MEZ) an den kürzesten Tagen und um 21:00 Uhr (MESZ) an den längsten Tagen.
• Die Umstellung auf Sommerzeit bleibt unberücksichtigt.

Ausgangspunkt zur Berechnung ist – entsprechend der ersten Annahme – eine Sinusfunktion mit zunächst allgemeinen Parametern:

$$t_\mathrm u = A\cdot \sin\left(2\pi\frac{t'}{T} + \phi_0\right) + t_\mathrm m\, .$$

Mit dem oben beschriebenen Modell lassen sich die einzelnen Größen in dieser Formel identifizieren:

• $t_\mathrm u$ ist die gesuchte Sonnenuntergangszeit.

• $t'$ ist die Zeitvariable, die den Jahresverlauf abdeckt.

• Für die Periodendauer $T$ gilt $T=365~\mathrm d$.

• Die Amplitude $A$ beträgt

  $$A = \frac{\Delta t_\mathrm{jahr}}{2} \, .$$

• $\phi_0$ bezeichnet die Anfangsphase. Die Sinusfunktion beginnt bei $\sin(0) = 0$ mit positivem Anstieg, was der Fühjahrs-Tag-und-Nachtgleiche (20. März) entspricht. Soll die Darstellung am 1. Januar beginnen, so muss $\phi_0$ einer Verschiebung um 79 Tage entsprechen. Für die Berechnung der täglichen Änderung hat diese Festlegung keine Bedeutung.

Damit ergibt sich

$$t_\mathrm u = \frac{\Delta t_\mathrm{jahr}}{2}\sin\left( 2\pi\frac{t'}{T} + \phi_0 \right) + t_\mathrm m \, .$$

Die tägliche Änderung der Sonnenuntergangszeit folgt aus dem Anstieg dieser Funktion. Die Ableitung lautet:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt'}t_\mathrm u = \frac{\Delta t_\mathrm{jahr}}{2}\frac{2\pi}{T}\cos\left(2\pi\frac{t'}{T} + \phi_0\right) \, .$$

Die maximale Änderung der Sonnenuntergangszeit entspricht der Amplitude dieser Funktion:

$$\Delta t_\mathrm{u,max} = \frac{\pi \Delta t_\mathrm{jahr}}{T} = 2{,}07~\frac{\mathrm{min}}{\mathrm d} \, .$$

Lösung Teilaufgabe 2

Zur Prüfung des oben angesetzten Modells werden die Sonnenuntergangszeiten für die Stadt Chemnitz im Jahr 2025 herangezogen. Diese wurde mit einem Web-Tool des Astronomischen Recheninstituts der Universität Heidelberg für die geographischen Koordinaten $50°~50'~\mathrm N$, $12°~55'~\mathrm O$ berechnet. Das nachfolgende Diagramm zeigt diese Daten zusammen mit dem Verlauf der Sonnenuntergangszeiten, die sich aus obigem Modell ergeben. Dabei wurde für eine bessere Übereinstimmung der Daten der Wert $\Delta t_\mathrm{jahr} = 4~\mathrm{h}~24~\mathrm{min}$ gesetzt. Für die obige Berechnung ergibt sich daraus ein veränderter Wert von $\Delta t_\mathrm{u,max} = 2{,}27~\frac{\mathrm{min}}{\mathrm d}$. Zudem wurde die „mittlere“ Sonnenuntergangszeit $t_\mathrm m$ (Mittelwert zwischen frühestem und spätestem Untergang) auf 18:13 Uhr festgelegt.

Der Vergleich der beiden Kurvenverläufe im Diagramm zeigt, dass die Annahme einer Sinusfunktion für ein einfaches Modell der Sonnenuntergangszeiten durchaus legitim ist. Der wesentliche Verlauf der tatsächlichen Untergangszeiten wird durch die Sinuskurve in einer Näherung, die für die Beantwortung der obigen Frage ausreichend ist, nachvollzogen.

Gleichzeitig zeigen sich auch Unterschiede zwischen den tatsächlichen Sonnenuntergangszeiten und dem oben beschriebenen Modell. Während die Zeiten des frühesten und spätesten Untergangs noch durch geeignete Wahl von $t_\mathrm m$ und $\Delta t_\mathrm{jahr}$ angepasst werden können, weichen insbesondere im ersten Halbjahr die Kurvenverläufe voneinander ab. Die Sinusfunktion unseres einfachen Modells ist spiegelsymmetrisch bezüglich des Sonnenhöchststands (maximale Tageslänge). Die tatsächlichen Sonnenuntergangszeiten weichen von einer solchen Symmetrie ab. Die Zunahme der Tageslänge im Frühjahr erfolgt langsamer als die Abnahme im Herbst. Ursache hierfür ist die tatsächliche Bewegung der Erde um die Sonne, wie sie durch die Keplersachern Gesetze beschrieben wird. Die Erde bewegt sich auf einer Ellipsenbahn, wobei ihre Geschwindigkeit umso größer wird, je näher sie der Sonne kommt.

Zusatz

Die oben ausgeführten Unterschiede widerspiegeln sich auch bei Betrachtung der Jahreszeitanfänge. Im obigen Modell würden Frühlings- und Herbsanfang festgelegt auf das Datum, an dem $t_\mathrm u = t_\mathrm m$ gilt. Sommer- und Winteranfang würden auf das Maximum beziehungsweise Minimum der Sonnenuntergangszeit gesetzt. Aufgrund des Symmetrie der Sinuskurve würde jede Jahreszeit exakt ein Viertel der Jahresdauer umfassen. Für die Darstellung im Diagramm wurde $\phi_0$ so gewählt, dass $t_\mathrm u = t_\mathrm m$ zum tatsächlichen Frühlingsanfang erreicht wird. Die weiteren tatsächlichen Jahreszeitanfänge (vertikale Markierungen im Diagramm), weichen dann aber vom exakten Vierteljahresrhythmus ab.

Auch die tatsächlichen Sonnenuntergangszeiten zeigen bei den Jahreszeitanfängen eine Verschiebung von einigen Tagen. So wird die Sonnenuntergangszeit $t_\mathrm m$ bereits vor dem Frühlingsanfang erreicht und auch der Herbstanfang liegt nach dem Datum, an dem $t_\mathrm u = t_\mathrm m$ gilt. Der früheste Sonnenuntergang erfolgt bereits Anfang Dezember und damit wiederum kurz vor Winteranfang. Umgekehrt wird der späteste Sonnenuntergang erst wenige Tage nach Sommeranfang erreicht. Auch für die Abweichungen wird als Grund gesehen, dass die Erde nicht mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn unterwegs ist.