Aufgabensammlung Experimentalphysik

Sommerrodelbahn

Aufgabenstellung

Bei einer Sommerrodelbahn rollen Schlitten auf einer metallenen Fahrspur talwärts. Die Schlitten sind mit ein oder zwei Personen besetzt, die über einen Bremshebel die Fahrtgeschwindigkeit selbst regulieren können. Zu Beginn oder am Ende der Fahrt werden die Schlitten durch ein Aufzugsystem an den höchsten Punkt der Strecke befördert. Die Fahrt nach unten erfolgt dann ohne weiteren Antrieb. Das Aufzugsystem besteht aus einem umlaufenden Stahlseil, das von einem Elektromotor angetrieben wird und an das die Schlitten automatisch an- und abgekoppelt werden.

Für die folgenden Berechnungen werde eine Sommerrodelbahn betrachtet, die auf einer Streckenlänge von $s_\mathrm{ab} = 350~\mathrm m$ einen Höhenunterschied von $\Delta h = 40~\mathrm m$ aufweist. Es wird davon ausgegangen, dass das Gefälle auf der gesamten Strecke konstant ist. Die Aufzugstrecke verläuft geradlinig mit konstanter Steigung und besitzt eine Länge von $s_\mathrm{auf} = 60~\mathrm m$. Die Aufzuggeschwindigkeit beträgt $v_\mathrm{auf} = 1{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Auf dieser Bahn sei ein Schlitten unterwegs, dessen Gesamtmasse (inklusive Fahrer) $m = 95~\mathrm{kg}$ beträgt.

1. Welche Beschleunigung erfährt der Schlitten, wenn nicht gebremst wird?
2. Welche (mechanische) Leistung erbringt das Aufzugsystem, wenn nur der oben genannte Schlitten (inklusive Fahrer) angekoppelt ist?

Lösung Teilaufgabe 1

Für die Beschleunigung gilt das 2. Newtonsche Axiom:

$$F = ma \quad \textrm{bzw.} \quad a=\frac{F}{m} .$$

Als beschleunigende Kraft wirkt die Hangabtriebskraft:

$$F_\mathrm H = mg\sin\alpha_\mathrm{ab} \, .$$

Für den Neigungswinkel $\alpha_\mathrm{ab}$ ergibt sich aus der Höhendifferenz $\Delta h$ und der Streckenlänge $s_\mathrm{ab}$:

$$\sin\alpha_\mathrm{ab} = \frac{\Delta h}{s_\mathrm{ab}} \, .$$

Damit ergibt sich die Ergebnisformel

$$a = g\frac{\Delta h}{s_\mathrm{ab}} = 1{,}12~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .$$

Alternative Herangehensweise

Ohne Bremsen wird die gesamte potentielle Energie, die der Schlitten aufgrund des Höhenunterschieds $\Delta h$ besitzt, in kinetische Energie umgewandelt:

$$\frac{m}{2}v_\mathrm u^2 = mg\Delta h \, .$$

Für die Geschwindigkeit $v_\mathrm u$ am unteren Ende der Bahn folgt daraus:

$$v_\mathrm u = \sqrt{2g\Delta h} \, .$$

Es sei darauf hingewiesen, dass diese Geschwindigkeit auf einer Sommerrodelbahn keinesfalls erreicht werden kann, da die Schlitten bei circa $40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ automatisch bremsen. Für die Berechnung kann diese theoretisch erreichbare Geschwindigkeit ungeachtet dessen verwendet werden.

Ferner werden die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit angesetzt. Mit der (zunächst unbekannten) Fahrzeit $t_\mathrm{ab}$ gilt

$$s_\mathrm{ab} = \frac{a}{2} t_\mathrm{ab}^2$$

und

$$v_\mathrm u = at_\mathrm{ab} \, .$$

Aus letzterer Formel folgt für die Fahrzeit:

$$t_\mathrm{ab} = \frac{v_\mathrm u}{a} \, .$$

Eingesetzt in das Orts-Zeit-Gesetz ergibt sich

$$s_\mathrm{ab} = \frac{a}{2}\cdot\frac{v_\mathrm u^2}{a^2} = \frac{v_\mathrm u^2}{2a}$$

beziehungsweise

$$a = \frac{v_\mathrm u^2}{2s_\mathrm{ab}} \, .$$

Mit der oben bestimmten Geschwindigkeit folgt die Ergebnisformel

$$a=\frac{2g\Delta h}{2s_\mathrm{ab}} = g \frac{\Delta h}{s_\mathrm{ab}} = 1{,}12~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .$$

Lösung Teilaufgabe 2

Die Leistung ergibt sich, indem die verrichtete Arbeit durch die dafür benötigte Zeit geteilt wird. Die verrichtete Arbeit ist die Differenz der potentiellen Energie:

$$P = \frac{W}{t_\mathrm{auf}} = \frac{mg\Delta h}{t_\mathrm{auf}} \, .$$

Die Zeit ergibt sich aus der Streckenlänge des Aufzugs $s_\mathrm{auf}$ und der Aufzuggeschwindigkeit $v_\mathrm{auf}$:

$$t_\mathrm{auf} = \frac{s_\mathrm{auf}}{v_\mathrm{auf}} \, .$$

Einsetzen ergibt die Ergebnisformel:

$$P = \frac{mg\Delta h v_\mathrm{auf}}{s_\mathrm{auf}} = 932~\mathrm W \, .$$

Alternative Herangehensweise

Die mechanische Leistung ergibt sich aus aufzubringender Kraft und Geschwindigkeit: $$P = Fv \, .$$

Die aufzubringende Kraft entspricht der Hangabtriebskraft:

$$F = F_\mathrm H = mg\sin\alpha_\mathrm{auf} \, .$$

Für den Anstieg des Aufzugs gilt:

$$\sin\alpha_\mathrm{auf} = \frac{\Delta h}{s_\mathrm{auf}} \, .$$

Einsetzen ergibt dieselbe Ergebnisformel wie oben:

$$P = m g \frac{\Delta h}{s_\mathrm{auf}}v_\mathrm{auf} = 932~\mathrm W \, .$$