Aufgabensammlung Experimentalphysik

Sicherheitsabstand

Aufgabenstellung

Ein PKW fährt auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von $v_\mathrm{PKW}=140~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$, als der Fahrer in einiger Entfernung vor sich ein Wohnmobil sieht, das mit $v_\mathrm{WM}=100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ unterwegs ist.

1. In welcher Entfernung von diesem Wohnmobil muss der PKW-Fahrer auf die Überholspur wechseln, wenn er seine Geschwindigkeit nicht ändern will und stets ein ausreichender Sicherheitsabstand gegeben sein soll? Treffen Sie dabei für unbekannte Größen sinnvolle Annahmen, oder verwenden Sie verfügbare Referenzwerte.

2. Vergleichen Sie diesen Abstand mit der Faustregel „Abstand = halber Tacho“ und dem „2-Sekunden-Abstand“.

Lösung Teil 1

Ein ausreichender Sicherheitsabstand ist gegeben, wenn bei einer plötzlichen Vollbremsung des vorausfahrenden Fahrzeugs das nachfolgende Fahrzeug zum Stehen kommen kann, bevor es zum Aufprall kommt. Wir gehen davon aus, dass beide Fahrzeuge bei einer Vollbremsung dieselbe Beschleunigung (Verzögerung) aufweisen. Ferner wissen wir aus der Fahrschule, dass sich der Anhalteweg $s_\mathrm A$ zusammensetzt aus Reaktionsweg $s_\mathrm R$ und Bremsweg $s_\mathrm{B}$:

$s_\mathrm A = s_\mathrm R + s_\mathrm{B} \, .$

Für den Sicherheitsabstand $s_\mathrm S$ bedeutet das:

$s_\mathrm{R,PKW} + s_\mathrm{B,PKW} = s_\mathrm{B,WM} + s_\mathrm S$ beziehungsweise

$s_\mathrm S = s_\mathrm{R,PKW} + s_\mathrm{B,PKW} - s_\mathrm{B,WM} \, .$

Der Reaktionsweg ist die während der Reaktionszeit $t_\mathrm R$ in gleichförmiger Bewegung zurückgelegte Strecke:

$s_\mathrm{R,PKW} = v_\mathrm{PKW}t_\mathrm R \, .$

Zur Bestimmung der Bremswege setzen wir das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ an:

$s_\mathrm B = v_0t_\mathrm B - \frac a2 t_\mathrm B ^2 \, .$ Für die Bremszeit folgt aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

$v(t_\mathrm B) = v_0 - at_\mathrm B = 0 \qquad \longrightarrow \qquad t_\mathrm B = \frac{v_0}{a} \, .$ Setzt man dies in das Weg-Zeit-Gesetz ein, so erhält man:

$s_\mathrm B = v_0 \cdot \frac{v_0}{a} - \frac a2 \cdot \frac{v_0^2}{a^2} = \frac{v_0^2}{2a} \, .$ Der Bremsweg des Wohnmobils beträgt daher

$s_\mathrm{B,WM} = \frac{v_\mathrm{WM}^2}{2a} \, .$

Der PKW, der sich mit der höheren Geschwindigkeit $v_\mathrm{PKW} = v_\mathrm{WM} + \Delta v$ bewegt, hat entsprechend einen größeren Bremsweg:

$s_\mathrm{B,PKW} = \frac{(v_\mathrm{WM} + \Delta v)^2}{2a} = \frac{v_\mathrm{WM}^2}{2a} + \frac{2v_\mathrm{WM}\Delta v +\Delta v^2}{2a} = s_\mathrm{B,WM} + \Delta s_\mathrm B \, ,$ mit

$\Delta s_\mathrm B = \frac{2v_\mathrm{WM}\Delta v +\Delta v^2}{2a} \, .$

Für den Sicherheitsabstand bedeutet das:

$\begin{aligned} s_\mathrm S & = s_\mathrm{R,PKW} + s_\mathrm{B,PKW} - s_\mathrm{B,WM} \\ & = s_\mathrm{R,PKW} + s_\mathrm{B,WM} + \Delta s_\mathrm B - s_\mathrm{B,WM}\\ & = s_\mathrm{R,PKW} + \Delta s_\mathrm B \\ & = s_\mathrm{R,PKW} + \frac{2v_\mathrm{WM}\Delta v +\Delta v^2}{2a} \, . \end{aligned}$

Wir setzen eine Reaktionszeit von $t_\mathrm R = 1~\mathrm s$ an sowie eine Bremsverzögerung von $a=8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ ¹. Damit erhalten wir

$s_\mathrm{S} = s_\mathrm{R,PKW} + \Delta s_\mathrm B = 38{,}9~\mathrm m + 46{,}3~\mathrm m = 85{,}2~\mathrm m \, .$

Zum Vergleich: bei nasser Asphaltfahrbahn ($a=6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$) ergibt sich ein Sicherheitsabstand

$s_\mathrm{S} = 38{,}9~\mathrm m + 61{,}7~\mathrm m = 100{,}6~\mathrm m \, .$

Lösung Teil 2

Die Faustregel „Abstand = halber Tacho“ besagt, dass der Sicherheitsabstand (in Meter) die Hälfte des Wertes der Geschwindigkeit (in Kilometer pro Stunde) betragen soll. Bei den vorgegebenen $140~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ wären dies nur $70~\mathrm m$ und damit weniger als der errechnete Mindestabstand! Die Faustregel gilt nur, wenn vorausfahrendes und nachfolgendes Fahrzeug dieselbe Geschwindigkeit besitzen. Bei höherer Annäherungsgeschwindigkeit erhöht sich der erforderliche Abstand.

Eine andere Faustregel empfiehlt einen zeitlichen Abstand von 2 Sekunden. Dies entspricht in diesem Fall jedoch nur $55~\mathrm m$. Auch diese Faustregel gilt nur bei identischen Geschwindigkeiten beider Fahrzeuge.