Schlittenhang
Aufgabenstellung
Im Winter sind auf einem Schlittenhang zahlreiche Kinder mit Schlitten unterwegs. Betrachtet wird im Folgenden ein Schlitten mit einer Masse von m_\mathrm s = 0{,}63~\mathrm{kg}, auf dem ein Kind der Masse m_\mathrm k = 28{,}7~\mathrm{kg} sitzt. Der Schlittenhang habe eine Länge von l = 48~\mathrm m bei einem Neigungswinkel von \alpha = 16{,}2°.
- Welche maximale Geschwindigkeit v_\mathrm{max} könnte der Schlitten am Ende des Hangs besitzen, wenn keinerlei Reibungseffekte vorlägen?
- Tatsächlich beträgt die Geschwindigkeit des Schlittens nach der Abfahrt jedoch nur v_\mathrm{real} = 10{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}. Bestimmen Sie den Gleitreibungskoeffizienten \mu_\mathrm{gleit} zwischen Schlittenkufen und Schnee. (Unter der Annahme, dass allein die Festkörperreibung zwischen Schlitten und Schnee für die geringere Geschwindigkeit verantwortlich ist; andere Effekte (z.B. Luftwiderstand) seien vernachlässigbar.)
- An den Schlittenhang schließt sich eine horizontale Strecke an. Wie weit würde der Schlitten auf dieser Strecke noch rutschen, wenn nicht gebremst würde? Verwenden Sie den oben berechneten Gleitreibungskoeffizienten. Sollten Sie oben kein Ergebnis erhalten haben, nutzen Sie stattdessen den Wert \mu_\mathrm{gleit} = 0{,}15.
Lösung Teilaufgabe 1
Unter Vernachlässigung der Reibung lässt sich die Energieerhaltung aufstellen:
\begin{aligned} E_\mathrm{pot,oben} & = E_\mathrm{kin,unten} \\ mgh & = \frac{m}{2}v_\mathrm{max}^2 \, , \end{aligned}
wobei h die Höhe des Schlittenhangs bezeichnet. Diese ergibt sich aus Länge und Neigung des Hangs:
h = l\cdot\sin\alpha \, .
Für die Geschwindigkeit folgt daraus
v_\mathrm{max} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2gl\sin\alpha} = 16{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} = 58{,}4~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, .
Alternativer Lösungsweg zu Teilaufgabe 1
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus dem Stand heraus (v_0 = 0 und s_0 = 0) gelten die Zusammenhänge
\begin{aligned} s & = \frac{a}{2} t^2 \\ v & = at \, . \end{aligned}
Die letztere Formel wird nach t umgestellt (t = \frac{v}{a}) und in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt. So ergibt sich:
s = \frac{v^2}{2a}
beziehunsgweise für die Geschwindigkeit
v = \sqrt{2as} \, .
Für die Beschleunigung wird das zweite Newtonsche Axiom angesetzt, wobei hier die Hangabtriebskraft F_\mathrm H als beschleunigende Kraft wirkt:
a = \frac{F_\mathrm H}{m} = \frac{mg\sin\alpha}{m} = g\sin\alpha \, .
Zur Bestimmung der Maximalgeschwindigkeit wird die zurückgelegte Strecke s der Hanglänge l gleichgesetzt:
v_\mathrm{max} = \sqrt{2al} = \sqrt{2g\sin\alpha l} = 16{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} = 58{,}4~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, .
Lösung Teilaufgabe 2
Unter Berücksichtigung der Festkörperreibung ergibt sich die Energiebilanz
E_\mathrm{pot,oben} = E_\mathrm{kin,unten} + W_\mathrm{reib} \, ,
wobei W_\mathrm{reib} die gegen die Gleitreibung verrichtete Arbeit bezeichnet. Durch Umstellen erhält man
\begin{aligned} W_\mathrm{reib} & = E_\mathrm{pot,oben} - E_\mathrm{kin,unten} \\ mg\cos\alpha \mu_\mathrm{gleit} l & = mgl\sin\alpha - \frac{m}{2} v_\mathrm{real}^2 \end{aligned}
sowie
\mu_\mathrm{gleit} = \frac{mgl\sin\alpha - \frac{m}{2}v_\mathrm{real}^2}{mgl\cos\alpha} = \tan\alpha - \frac{v_\mathrm{real}^2}{2gl\cos\alpha} = 0{,}173 \, .
Alternativer Lösungsweg zu Teilaufgabe 2
Alternativ zum oben gewählten Energieansatz kann auch von einer Kräftebilanz ausgegangen werden:
F_\mathrm B = F_\mathrm H - F_\mathrm{Reib} \, .
In Worten ausgedrückt: Die beschleunigende Kraft F_\mathrm B ist nicht gleichzusetzen mit der Hangabtriebskraft F_\mathrm H, sondern ist um den Betrag der Reibungskraft F_\mathrm{Reib} kleiner als diese. Für die Reibungskraft gilt damit
F_\mathrm{Reib} = F_\mathrm H - F_\mathrm B \, .
Für die beschleunigende Kraft gilt das zweite Newtonsche Axiom:
F_\mathrm B = ma_\mathrm{real} \, .
Die reale Beschleunigung a_\mathrm{real} wiederum folgt aus der nach der Hanglänge l erreichten Geschwindigkeit v_\mathrm{real} (Vgl. alternativer Lösungsweg zu Teilaufgabe 1):
a_\mathrm{real} = \frac{v_\mathrm{real}^2}{2l} \, .
Für die Kräftebilanz folgt daraus:
\begin{aligned} F_\mathrm{Reib} & = F_\mathrm H - F_\mathrm B \\ \mu_\mathrm{Gleit} mg\cos\alpha & = mg\sin\alpha - m\frac{v_\mathrm{real}^2}{2l} \, . \end{aligned}
Nach Kürzen und Umstellen ergibt sich für den Gleitreibungskoeffizienten
\mu_\mathrm{gleit} = \tan\alpha - \frac{v_\mathrm{real}^2}{2gl\cos\alpha} = 0{,}173 \, .
Lösung Teilaufgabe 3
Der Schlitten kommt zum Stillstand, wenn seine gesamte kinetische Energie für die Reibungsarbeit aufgewendet wurde:
\begin{aligned} W_\mathrm{reib} & = E_\mathrm{kin,unten} \\ mg\mu_\mathrm{gleit} s_\mathrm{rutsch} & = \frac{m}{2}v_\mathrm{real}^2 \, . \end{aligned}
Für die Rutschstrecke folgt daraus:
s_\mathrm{rutsch} = \frac{v_\mathrm{real}^2}{2g\mu_\mathrm{gleit}} = 31{,}2~\mathrm m \, .
Bei Verwendung des Ersatzwerts \mu_\mathrm{gleit} = 0{,}15 ergibt sich
s_\mathrm{rutsch} = 36{,}0~\mathrm m \, .