Aufgabensammlung Experimentalphysik

Rettungsschwimmer

Aufgabenstellung

An einem Badestrand beobachtet ein Rettungsschwimmer von einem Aussichtspunkt aus das Geschehen am und im Wasser. Dabei entdeckt er einen Schwimmer, der offensichtlich Hilfe benötigt und den der Rettungsschwimmer in möglichst kurzer Zeit erreichen muss.

Zur besseren Beschreibung dieses Sachverhalts wird folgendes Koordinatensystem verwendet:

Der Ausgangspunkt des Rettungsschwimmers befindet sich im Koordinatenursprung.
Die Grenze zwischen Strand und Wasser verläuft geradlinig parallel zur $x$ -Achse bei $y=20~\mathrm m$ .
Der Schwimmer im Wasser, den der Rettungsschwimmer erreichen muss, befindet an der Position $\vec r_\mathrm s = \left( 35~\mathrm m , 45~\mathrm m \right)$ .

Auf dem Festland läuft der Rettungsschwimmer mit einer Geschwindigkeit von $v_\mathrm l = 3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ . Im Wasser erreicht er eine Geschwindigkeit von $v_\mathrm w = 0{,}9~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ .

Berechnen Sie die Zeiten, die der Rettungsschwimmer benötigt um den Schwimmer zu erreichen, für die folgenden verschiedenen Wege:
1. Zunächst zum Punkt $\left( 35~\mathrm m, 20~\mathrm m \right)$ , danach nach $\vec r_\mathrm s$ .
2. Zunächst zum Punkt $\left( 28{,}65~\mathrm m, 20~\mathrm m \right)$ , danach nach $\vec r_\mathrm s$ .
3. Auf geradlinigem Weg von $\left( 0, 0 \right)$ nach $\vec r_\mathrm s$ .
Welchen Bezug hat diese Aufgabe zur Optik?

Lösung Teil 1

Der Rettungsschwimmer legt zunächst eine Strecke $s_\mathrm l$ an Land zurück, bis er die Wassergrenze erreicht. Der Punkt, an dem der Übergang vom Land zum Wasser erfolgt sei mit $\vec r_\mathrm g = \left( x_\mathrm g, y_\mathrm g \right)$ bezeichnet. Für den an Land zurückgelegten Weg gilt damit

$s_\mathrm l = \sqrt{x_\mathrm g^2 + y_\mathrm g^2} \, .$

Danach wechselt der Rettungsschwimmer ins Wasser und legt dort die restliche Strecke

$s_\mathrm w = \sqrt{\left( x_\mathrm s - x_\mathrm g\right)^2 + \left( y_\mathrm s - y_\mathrm g\right)^2}$

zurück.

Bei gleichförmiger Bewegung ergibt sich die für eine Strecke $s$ benötigte Zeit allgemein als

$t = \frac{s}{v} \, .$

Für den Rettungsschwimmer müssen die beiden Zeiten für die Strecken an Land und im Wasser berücksichtigt werden:

$\begin{aligned} t & = t_\mathrm l + t_\mathrm w \\ & = \frac{s_\mathrm l}{v_\mathrm l} + \frac{s_\mathrm w}{v_\mathrm w} \\ & = \frac{\sqrt{x_\mathrm g^2 + y_\mathrm g^2}}{v_\mathrm l} + \frac{\sqrt{\left( x_\mathrm s - x_\mathrm g\right)^2 + \left( y_\mathrm s - y_\mathrm g\right)^2}}{v_\mathrm w} \, . \end{aligned}$

Für den ersten beschriebenen Weg mit $(x_\mathrm g, y_\mathrm g) = (35~\mathrm m, 20~\mathrm m)$ ergibt sich daraus

$t_1 = 41{,}2~\mathrm s \, .$

Für den zweiten Weg folgt

$t_2 = 40{,}3~\mathrm s \, .$

Für den dritten Weg müssen zunächst die Koordinaten des Punkts $\vec r_\mathrm g$ bestimmt werden. Bei geradliniger Bewegung gilt

$\frac{x_\mathrm g}{x_\mathrm s} = \frac{y_\mathrm g}{y_\mathrm s} \quad \Rightarrow \quad x_\mathrm g = \frac{y_\mathrm g}{y_\mathrm s} x_\mathrm s \, ,$

wobei $y_\mathrm g = 20~\mathrm m$ in der Aufgabenstellung gegeben ist. Damit ergibt sich

$t_3 = 43{,}6~\mathrm s \, .$

Lösung Teil 2

Die Aufgabenstellung ist eine Anlehnung an das Fermatsche Prinzip der Lichtausbreitung: Gesucht ist der Weg zwischen zwei Punkten (hier: Ausgangspunkt des Rettungsschwimmers und Position des Schwimmers im Wassers) mit der kürzesten benötigten Zeit. Bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Rettungsschwimmers im Wasser und an Land, ist dieser schnellste Weg (Weg 2 in der Aufgabenstellung) nicht der Weg mit der kürzesten Strecke (Weg 3). Aufgrund der geringeren Geschwindigkeit im Wasser ist es vorteilhaft zunächst eine größere Strecke an Land zurückzulegen. Tatsächlich wurde Weg 2 so gewählt, dass er nicht nur unter den drei zur Auswahl stehenden Varianten der schnellste ist, sondern von allen möglichen Wegen die kürzeste Zeit benötigt.