Aufgabensammlung Experimentalphysik

Puzzleteile

Aufgabenstellung

Wie viele Puzzleteile eines 1000-Teile-Puzzles sind Randteile? Schätzen Sie zunächst, bevor Sie rechnen!

Lösung

Wie schon in der Aufgabenstellung genannt, sollten Sie zunächst einen Wert schätzen und am besten notieren, um ihn später mit dem errechneten Wert vergleichen zu können. Zur Ermittlung der Anzahl der Randteile wäre es sicher möglich, ein 1000-Teile-Puzzle zu beschaffen, dieses zu lösen und anschließend die Randteile zu zählen (und sicherheitshalber auch die Gesamtteilezahl, siehe unten). Der rechnerische Weg führt jedoch vermutlich schneller zum Ziel. Hierfür stellen wir zunächst fest, dass ein Puzzle in der Regel grundlegend aus einer rechteckigen Anordnung seiner Einzelteile besteht. Natürlich ist diese Anordnung nicht exakt rechtwinklig, sondern durch die Puzzleverzahnung und „wellige“ Stanzlinien gestört. Dennoch ergibt sich die Gesamtteilezahl aus dem Produkt aus Zeilenzahl $z$ und Spaltenzahl $s$:

$N=z\cdot s$

Der Rand setzt sich zusammen aus oberster und unterster Zeile (jeweils $s$ Teile) sowie linkester und rechtester Spalte (jeweils $z$ Teile). Insgesamt hat der Rand also

$N_\mathrm{R} = 2z + 2s -4$

Teile, wobei 4 Teile abgezogen werden mussten, um die Ecken nicht doppelt zu zählen.

Für $N=1000$ findet man durch Probieren schnell die Anordnung $25\times 40$ Teile. Eine elegantere Methode wird weiter unten betrachtet. Die Anzahl der Randteile ist dann

$N_\mathrm R = 2\cdot 25 + 2\cdot 40 -4 = 126 \qquad \textrm{bzw.} \qquad \frac{N_\mathrm R}{N} =12{,}6~\% \approx \frac 18 \, .$

Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit Ihrer anfänglichen Schätzung. Tatsächlich wird meist ein deutlich kleinerer Anteil an Randteilen erwartet.

Ergänzung I

Bisher wurde die Aufteilung der Puzzleteile auf Zeilen und Spalten nur durch Probieren herausgefunden. Die systematische Heransgehensweise nutzt hierfür die Primfaktorrelegung der Gesamtteilezahl $N$. Für ein 1000er Puzzle lautet diese:

$N=1000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \, .$ Davon ausgehend können nun systematisch alle Möglichkeiten aufgeschrieben werden, die Primfaktoren zu den beiden Faktoren $z$ und $s$ zusammen zu fassen. Man findet dabei, dass neben der schon genutzen Aufteilung $25\times 40$ bestenfalls noch das Format $20\times 50$ als sinnvolle Anordnung in Frage käme, was bereits ein sehr schmales, langes Bild darstellt.

Ergänzung II

Tatsächlich besitzen nicht alle Puzzles, die nominell als „1000 Teile“ bezeichnet werden, exakt 1000 Teile. Dem Autor sind bisher sowohl Puzzle mit 999 Teilen (Anordnung $27\times 37$) als auch welche mit 1008 Teilen (Anordnung $28\times 36$) in die Hände gekommen. Der oben berechnete Anteil der Randteile ändert sich dadurch nur unwesentlich. Im letztgenannten Fall erhält man 124 Randteile, was einem Anteil von $12{,}3\%$ entspricht.