Aufgabensammlung Experimentalphysik

Pumpspeicherwerk

Aufgabenstellung

Das Pumpspeicherwerk Markersbach im Erzgebirge ist das zweitgrößte seiner Art in Deutschland. Auf den Internetseiten des Betreibers finden sich hierzu folgende Informationen: Das Kraftwerk liefert eine maximale elektrische Leistung von $P_\mathrm{el} = 1046~\mathrm{MW}$. Hierfür nutzt es sechs Turbinen, die jeweils einen Wasserdurchfluss von $70~\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s}$ aufweisen. Die Fallhöhe (Höhenunterschied zwischen Ober- und Unterbecken) beträgt $\Delta h = 288~\mathrm m$. Bei vollständig gefülltem Oberbecken kann das Kraftwerk vier Stunden unter Volllast betrieben werden.

1. Welches Wasservolumen muss im Oberbecken gespeichert sein, um die genannte Betriebsdauer zu gewährleisten?
2. Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Stromerzeugung in diesem Kraftwerk (bezogen auf die mechanische Energie des Wassers).
3. Die erzeugte elektrische Energie wird mit einer Spannung von $U=380~\mathrm{kV}$ in das Übertragungsnetz eingespeist. Welcher Strom fließt dabei, wenn das Kraftwerk mit maximaler Leistung arbeitet?

Lösung Teil 1

Der Wasserdurchfluss einer Turbine sei mit $q$ bezeichnet. Das erforderliche Wasservolumen ergibt sich aus dem Wasserdurchfluss aller 6 Turbinen und der Betriebsdauer $t_\mathrm B = 4~\mathrm h = 4\cdot 3600~\mathrm s$:

$V = 6\cdot q t_\mathrm B = 6{,}05\cdot 10^6~\mathrm{m^3} \, .$

Lösung Teil 2

Der Wirkungsgrad ergibt sich als Quotient aus abgegebener elektrischer Leistung und zugeführter mechanischer Leistung:

$\eta = \frac{P_\mathrm{el}}{P_\mathrm{mech}} \, .$

Die elektrische Leistung ist in der Aufgabenstellung gegeben. Ausgangspunkt für die Bestimmung der mechanischen Leistung ist die potentielle Energie des Wassers im Oberbecken:

$E_\mathrm{pot} = mg\Delta h = V \rho g \Delta h \, ,$

wobei die Masse des Wassers durch Volumen $V$ und Dichte $\rho$ ausgedrückt wurde. Die mechanische Leistung ergibt sich durch das Hinabströmen des Wassers:

$P_\mathrm{mech} = \frac{\mathrm d E_\mathrm{pot}}{\mathrm d t} = \frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}\rho g \Delta h \, .$

Der Ausdruck $\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}$ wiederum entspricht der Durchflussmenge $6q$ durch alle Turbinen:

$P_\mathrm{mech} = 6q \rho g \Delta h \, .$

Für den Wirkungsgrad folgt daraus:

$\eta = \frac{P_\mathrm{el}}{6q \rho g \Delta h} = 0{,}88 = 88~\% \, .$

Lösung Teil 3

Die elektrische Leistung ergibt sich als

$P_\mathrm{el}=UI \, .$

Für die gesuchte Stromstärke folgt daraus

$I = \frac{P_\mathrm{el}}{U} = 2{,}75~\mathrm{kA} \, .$