Pohlsche Rollen
Aufgabenstellung
Gegeben sind zwei Rollen (Zylinder) mit gleicher Masse und gleichen Abmessungen:
- Rolle 1 besitzt einen Kern aus Eisen, der von einem Mantel aus Holz umgeben ist.
- Rolle 2 besteht im Inneren aus Holz und ist von einem Eisenmantel umgeben.
Beide Rollen befinden sich anfangs am oberen Ende einer geneigten Ebene und beginnen gleichzeitig hinabzurollen. Die Reibung sei dabei vernachlässigbar.
| Frage | Rolle 1 (innen Eisen, außen Holz) | Rolle 2 (innen Holz, außen Eisen) | Beide Rollen gleich |
|---|---|---|---|
| Welche Rolle erreicht das untere Ende der Bahn eher? | |||
| Welche Rolle hat am unteren Ende der Bahn die höhere Geschwindigkeit? | |||
| Welche Rolle hat am unteren Ende die größere kinetische Energie? | |||
| Welche Rolle hat am unteren Ende der Bahn die größere Rotationsenergie? | |||
| Welche Rolle hat das größere Trägheitsmoment? | |||
| Auf welche Rolle wirkt das größere Drehmoment? |
Lösung
Zunächst einige allgemeine Überlegungen, die der Beantwortung der einzelnen Fragen dienen:
- Da beide Rollen identische Massen haben, besitzen sie zu Beginn dieselbe potenzielle Energie. Bei der Abwärtsbewegung erfolgt die Umwandlung in kinetische Energie.
- Aufgrund der unterschiedlichen Massenverteilung besitzen die Rollen unterschiedliche Trägheitsmomente. Bei Rolle 2 befindet sich das Material mit der größeren Dichte außen. Folglich weist sie das höhere Trägheitsmoment auf.
- Bei der Rollbewegung überlagern sich Rotations- und Translationsbewegung. Die kinetische Energie teilt sich entsprechend in Rotations- und Translationsanteil auf.
- Welche Rolle erreicht das untere Ende der Bahn eher?
- Rolle 1 (innen Eisen, außen Holz): Aufgrund des kleineren Trägheitsmoments besitzt diese Rolle bei gleicher kinetischer Energie eine höhere Translationsenergie und damit eine höhere Geschwindigkeit, sodass sie die Strecke der geneigten Ebene in kürzerer Zeit zurücklegt.
- Welche Rolle hat am unteren Ende der Bahn die höhere Geschwindigkeit?
- Rolle 1 (innen Eisen, außen Holz): Aufgrund des kleineren Trägheitsmoments besitzt diese Rolle bei gleicher kinetischer Energie eine höhere Translationsenergie und damit eine höhere Geschwindigkeit.
- Welche Rolle hat am unteren Ende die größere kinetische Energie?
- Beide Rollen gleich: Da beide Rollen anfangs dieselbe potentielle Energie besaßen, weisen sie auch dieselbe kinetische Energie am Ende auf. Lediglich die Aufteilung auf Rotations- und Translationsenergie ist unterschiedlich.
- Welche Rolle hat am unteren Ende der Bahn die größere Rotationsenergie?
- Rolle 2 (innen Holz, außen Eisen): Aufgrund des größeren Trägheitsmoments mus bei dieser Rolle ein größerer der Anteil der kinetischen Energie in der Rotationsbewegung gespeichert sein.
- Welche Rolle hat das größere Trägheitsmoment?
- Rolle 2 (innen Holz, außen Eisen): Das Trägheitsmoment wird durch die Masseverteilung bestimmt. Bei dieser Rolle liegt das Material mit der größeren Dichte weiter von der Drehachse entfernt, wodurch das Trägheitsmoment vergrößert wird.
- Auf welche Rolle wirkt das größere Drehmoment?
- Beide Rollen gleich: Das Drehmoment auf der geneigten Ebene entsteht, da der Schwerpunkt der Rollen nicht über dem Auflagepunkt liegt. Bei beiden Rollen liegt der Schwerpunkt im Zentrum der Rolle. Da beide Rollen zudem gleiche Massen aufweisen, ist das Drehmoment identisch.