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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Lichtgeschwindigkeit

Aufgabenstellung

Ein Laser-Entfernungssensor arbeitet nach folgendem Prinzip: Er sendet einzelne Lichtpulse aus, die am angepeilten Objekt reflektiert werden und zurück in den Sensor gelangen. Dort wird die Laufzeit des Lichts zwischen Aussendung und Eintreffen des reflektierten Lichts gemessen und anschließend in eine Entfernung umgerechnet, wobei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zu Grunde gelegt wird.

Schematische Darstellung des in der Aufgabenstellung beschriebenen Aufbaus
  1. Welche Laufzeit misst der Sensor, wenn das Objekt s=22 ms = 22~\mathrm m entfernt ist?
  2. Um welchen Betrag ändert sich die gemessene Laufzeit des Lichts, wenn sich zwischen Sensor und angepeiltem Objekt eine Glasscheibe (Dicke d=7 mmd = 7~\mathrm{mm}, Brechungsindex ng=1,58n_\mathrm g = 1{,}58) befindet?

Lösung Teil 1

Da sich Licht gleichförmig ausbreitet, können die Gesetze der gleichförmigen Bewegung angewendet werden. Somit gilt

t=2sc0 ,t = \frac{2s}{c_0} \, ,

wobei c0=2,998⋅108 msc_0 = 2{,}998\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} die Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der Faktor 2 entsteht, da die Strecke ss zweifach zurückgelegt wird (Hin- und Rückweg). Als Laufzeit ergibt sich

s=2sc0=146,76 ns .s = \frac{2s}{c_0} = 146{,}76~\mathrm{ns} \, .

Lösung Teil 2

Für diese Fragestellung muss lediglich der Lichtweg über die Strecke 2d2d betrachtet werden. Der Faktor 2 entsteht auch hier wieder, da die Glasplatte zweimal passiert wird. Ohne Glasplatte legt das Licht diese Strecke mit der Geschwindigkeit c0c_0 zurück und die Laufzeit beträgt

t0=2dc0 .t_0 = \frac{2d}{c_0} \, .

In der Glasplatte breitet sich das Licht mit der (geringeren) Geschwindigkeit cgc_\mathrm g aus, für die gilt

cg=c0ng .c_\mathrm g = \frac{c_0}{n_\mathrm g} \, .

Die Laufzeit durch die Glasplatte beträgt damit

tg=2dcg=2dngc0 .t_\mathrm g = \frac{2d}{c_\mathrm g} = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} \, .

Daraus folgt für die Laufzeitdifferenz, die durch das Einfügen der Glasplatte hervorgerufen wird:

Δt=tg−t0=2dngc0−2dc0=2dc0(ng−1)=0,027 ns .\begin{aligned} \Delta t & = t_\mathrm g - t_0 \\ & = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} - \frac{2d}{c_0} \\ & = \frac{2d}{c_0} \left( n_\mathrm g -1 \right) \\ & = 0{,}027~\mathrm{ns} \, . \end{aligned}