Lichtgeschwindigkeit
Aufgabenstellung
Ein Laser-Entfernungssensor arbeitet nach folgendem Prinzip: Er sendet einzelne Lichtpulse aus, die am angepeilten Objekt reflektiert werden und zurück in den Sensor gelangen. Dort wird die Laufzeit des Lichts zwischen Aussendung und Eintreffen des reflektierten Lichts gemessen und anschließend in eine Entfernung umgerechnet, wobei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zu Grunde gelegt wird.
- Welche Laufzeit misst der Sensor, wenn das Objekt s = 22~\mathrm m entfernt ist?
- Um welchen Betrag ändert sich die gemessene Laufzeit des Lichts, wenn sich zwischen Sensor und angepeiltem Objekt eine Glasscheibe (Dicke d = 7~\mathrm{mm}, Brechungsindex n_\mathrm g = 1{,}58) befindet?
Lösung Teil 1
Da sich Licht gleichförmig ausbreitet, können die Gesetze der gleichförmigen Bewegung angewendet werden. Somit gilt
t = \frac{2s}{c_0} \, ,
wobei c_0 = 2{,}998\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} die Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der Faktor 2 entsteht, da die Strecke s zweifach zurückgelegt wird (Hin- und Rückweg). Als Laufzeit ergibt sich
s = \frac{2s}{c_0} = 146{,}76~\mathrm{ns} \, .
Lösung Teil 2
Für diese Fragestellung muss lediglich der Lichtweg über die Strecke 2d betrachtet werden. Der Faktor 2 entsteht auch hier wieder, da die Glasplatte zweimal passiert wird. Ohne Glasplatte legt das Licht diese Strecke mit der Geschwindigkeit c_0 zurück und die Laufzeit beträgt
t_0 = \frac{2d}{c_0} \, .
In der Glasplatte breitet sich das Licht mit der (geringeren) Geschwindigkeit c_\mathrm g aus, für die gilt
c_\mathrm g = \frac{c_0}{n_\mathrm g} \, .
Die Laufzeit durch die Glasplatte beträgt damit
t_\mathrm g = \frac{2d}{c_\mathrm g} = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} \, .
Daraus folgt für die Laufzeitdifferenz, die durch das Einfügen der Glasplatte hervorgerufen wird:
\begin{aligned} \Delta t & = t_\mathrm g - t_0 \\ & = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} - \frac{2d}{c_0} \\ & = \frac{2d}{c_0} \left( n_\mathrm g -1 \right) \\ & = 0{,}027~\mathrm{ns} \, . \end{aligned}