Lichtgeschwindigkeit II
Aufgabenstellung
Ein Laser-Entfernungssensor arbeitet nach folgendem Prinzip: Er sendet einzelne Lichtpulse aus, die am angepeilten Objekt reflektiert werden und zurück in den Sensor gelangen. Dort wird die Laufzeit des Lichts zwischen Aussendung und Eintreffen des reflektierten Lichts gemessen und anschließend in eine Entfernung umgerechnet, wobei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zu Grunde gelegt wird.
Mit einem solchen Entfernungsmesser wird ein Objekt angepeilt. Die gemessene Laufzeit des Lichts beträgt t = 17{,}83~\mathrm{ns}.
- In welcher Entfernung vom Sensor befindet sich das angepeilte Objekt?
- Anschließend wird (bei gleicher Anordnung von Sensor und Objekt) ein Glasblock mit einer Länge von l = 102{,}7~\mathrm{mm} in den Strahlengang gebracht. Die Laufzeit des Lichts erhöht sich dabei um \Delta t = 0{,}38~\mathrm{ns}. Welchen Brechungsindex besitzt der Glasblock?
Lösung Teilaufgabe 1
Das Licht breitet sich gleichförmig mit der (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit c_0 aus. Die Strecke zwischen Sensor und Objekt wird dabei zweimal durchlaufen (Hin- und Rückweg):
2s = c_0\Delta t \, .
Daraus folgt für die Entfernung:
s = \frac{c_0 \Delta t}{2} = 2{,}673~\mathrm m \, .
Lösung Teilaufgabe 2
Die Zeitdifferenz ergibt sich als Differenz der Laufzeiten des Lichts durch den Glasblock beziehungsweise durch die entsprechende Strecke in Luft:
\Delta t = t_\mathrm{g} - t_\mathrm{l} \, ,
wobei der Index g für Glas und Index l für Luft steht.
Mit den Gesetzen der gleichförmigen Bewegung und der Definition des Brechungsindexes folgt (wobei auch hier berücksichtigt wird, das die Länge des Glasblocks zweimal durchlaufen wird):
\Delta t = \frac{2l}{c_\mathrm g} - \frac{2l}{c_0} = \frac{2l\cdot n}{c_0} - \frac{2l}{c_0} = \frac{2l}{c_0}\left( n-1 \right) \, .
Für die Brechzahl folgt daraus:
n = \frac{c_0\Delta t}{2l} + 1 = 1{,}555 \, .