Lichtbogenlampe
Aufgabenstellung
In der Physikvorlesung wurden in manchen Experimenten sogenannte Lichtbogenlampen als Lichtquellen eingesetzt. Früher waren solche Geräte weit verbreitet in der Beleuchtungstechnik; heute sind sie (abgesehen von physikalischen Experimenten) faktisch vollständig von anderen Lichtquellen verdrängt.
Angeschlossen werden die in der Vorlesung verwendeten Lichtbogenlampen an eine Gleichspannung mit U_0 = 220~\mathrm{V}, wobei ein Vorwiderstand von R_\mathrm{vor} = 27{,}5~\Omega in Reihe zur Lampe geschalten ist (siehe Schaltbild). Beim Betrieb der Lampe fließt ein Strom von I = 5{,}2~\mathrm A.
- Berechnen Sie den Widerstand R_\mathrm l, den die Lampe im Betrieb aufweist.
- Wie groß sind dabei die Spannungsabfälle U_\mathrm{vor} über dem Vorwiderstand sowie U_\mathrm l über der Lampe?
- Welche elektrischen Leistungen werden an der Lampe und am Vorwiderstand umgesetzt?
Lösung Teil 1
Für den (Gesamt-) Widerstand gilt
R_\mathrm{ges} = \frac{U_0}{I} \, .
In Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand die Summe aller Einzelwiderstände:
R_\mathrm{ges} = R_\mathrm{vor} + R_\mathrm l \, .
Für den Widerstand der Lampe folgt daraus:
R_\mathrm l = R_\mathrm{ges} - R_\mathrm{vor} = \frac{U_0}{I} - R_\mathrm{vor} = 14{,}8~\Omega \, .
Lösung Teil 2
Für die Spannungsabfälle folgt aus dem Ohmschen Gesetz:
R = \frac{U}{I} \quad\Longrightarrow\quad U = RI \, .
Für den Vorwiderstand ergibt sich:
U_\mathrm{vor} = R_\mathrm{vor} I = 143~\mathrm V \, .
Für die Lampe folgt
U_\mathrm l = R_\mathrm l I = 77~\mathrm V\, .
Alternativ kann die oben hergeleitete Formel für den Widerstand der Lampe eingesetzt und weiter vereinfacht werden:
U_\mathrm l = R_\mathrm l I = \left(\frac{U_0}{I} - R_\mathrm{vor}\right) I = U_0 - R_\mathrm{vor}I = U_0 - U_\mathrm{vor} = 77~\mathrm V \, .
Lösung Teil 3
Für die elektrische Leistung gilt:
P=UI \, .
Für Vorwiderstand und Lampe ergibt sich daraus:
\begin{aligned} P_\mathrm{vor} & = U_\mathrm{vor}I = 744~\mathrm W\\ P_\mathrm l & = U_\mathrm l I = 400~\mathrm W\, . \end{aligned}
Um nicht mit Zwischenergebnissen rechnen zu müssen, kann die Formel für die Leistung umgeformt werden:
P = UI = RI^2 \, .
Für Vorwiderstand und Lampe ergibt sich dann:
\begin{aligned} P_\mathrm{vor} & = R_\mathrm{vor} I^2 = 744~\mathrm W \\ P_\mathrm l & = R_\mathrm l I^2 = \left(\frac{U_0}{I} - R_\mathrm{vor}\right) I^2 = U_0 I - R_\mathrm{vor}I^2 = 400~\mathrm W \, . \end{aligned}