Aufgabensammlung Experimentalphysik

Integralrechnung

Ziel der Integralrechnung ist die Bestimmung einer Stammfunktion $G(x)$ zu einer gegebenen Funktion $g(x)$:

$G(x)=\int g(x)\mathrm dx \, .$

Dabei gilt:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}G(x) = G'(x) = g(x) \, .$

Der Ausdruck $\int g(x)\mathrm dx$ wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und ergibt die Funktion $G(x)$. Das Ergebnis einer (unbestimmten) Integration kann überprüft werden, indem die ermittelte Stammfunktion $G(x)$abgeleitet wird. Dabei muss die ursprüngliche Funktion $g(x)$ reproduziert werden.

Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht eindeutig: Es tritt stets eine (zunächst unbestimmte) additive Konstante auf (sogenannte Integrationskonstante). Für ein konkretes physikalisches Problem wird der Wert dieser Konstante aus den Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt.

Ein bestimmtes Integral

$\int_a^b g(x)\mathrm dx = \left. G(x)\right|_a^b = G(b) - G(a)$

ist durch seine Integrationsgrenzen $a$ und $b$ gekennzeichnet und liefert einen Zahlenwert, der der Fläche unter der Funktion im Intervall $[a,b]$ entspricht.

Aufgabe 1: Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen

Lösen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

$\int c\mathrm dx =$

$\int x^n \mathrm dx =$

$\int\sin x\mathrm dx =$

$\int\cos x\mathrm dx =$

$\int e^x \mathrm dx =$

$\int\frac 1x \mathrm dx =$

$\int f'(x) \mathrm dx =$

Aufgabe 2: Integrationsregeln

Ergänzen Sie die folgenden Integrationsregeln:

• Vielfache oder Bruchteile einer Funktion: $\int c\cdot f(x)\mathrm dx =$
• Summen von Funktionen: $\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm dx =$
• gleiche Integrationsgrenzen: $\int_a^a f(x) \mathrm dx =$
• vertauschte Intgerationsgrenzen: $\int _b^a f(x) \mathrm dx = \dots \int _a^b f(x) \mathrm dx$

Lösung 1: Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen

$\int c\mathrm dx = c\cdot x + C$

$\int x^n \mathrm dx = \frac{1}{n+1}\cdot x^{n-1} + C$

$\int\sin x\mathrm dx = -\cos x + C$

$\int\cos x\mathrm dx = \sin x + C$

$\int e^x \mathrm dx = e^x + C$

$\int\frac 1x \mathrm dx = \ln x + C$

$\int f'(x) \mathrm dx = f(x) + C$

Lösung 2: Integrationsregeln

• Vielfache oder Bruchteile einer Funktion: $\int c\cdot f(x)\mathrm dx = c\cdot\int f(x)\mathrm dx$
• Summen von Funktionen: $\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm dx = \int f(x)\mathrm dx \pm \int g(x)\mathrm dx$
• gleiche Integrationsgrenzen: $\int_a^a f(x) \mathrm dx = 0$
• vertauschte Intgerationsgrenzen: $\int _b^a f(x) \mathrm dx = - \int _a^b f(x) \mathrm dx$