Integralrechnung
Ziel der Integralrechnung ist die Bestimmung einer Stammfunktion G(x) zu einer gegebenen Funktion g(x):
G(x)=\int g(x)\mathrm dx \, .
Dabei gilt:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}G(x) = G'(x) = g(x) \, .
Der Ausdruck \int g(x)\mathrm dx wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und ergibt die Funktion G(x). Das Ergebnis einer (unbestimmten) Integration kann überprüft werden, indem die ermittelte Stammfunktion G(x)abgeleitet wird. Dabei muss die ursprüngliche Funktion g(x) reproduziert werden.
Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht eindeutig: Es tritt stets eine (zunächst unbestimmte) additive Konstante auf (sogenannte Integrationskonstante). Für ein konkretes physikalisches Problem wird der Wert dieser Konstante aus den Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt.
Ein bestimmtes Integral
\int_a^b g(x)\mathrm dx = \left. G(x)\right|_a^b = G(b) - G(a)
ist durch seine Integrationsgrenzen a und b gekennzeichnet und liefert einen Zahlenwert, der der Fläche unter der Funktion im Intervall [a,b] entspricht.
Aufgabe 1: Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen
Lösen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
\int c\mathrm dx =
\int x^n \mathrm dx =
\int\sin x\mathrm dx =
\int\cos x\mathrm dx =
\int e^x \mathrm dx =
\int\frac 1x \mathrm dx =
\int f'(x) \mathrm dx =
Aufgabe 2: Integrationsregeln
Ergänzen Sie die folgenden Integrationsregeln:
- Vielfache oder Bruchteile einer Funktion: \int c\cdot f(x)\mathrm dx =
- Summen von Funktionen: \int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm dx =
- gleiche Integrationsgrenzen: \int_a^a f(x) \mathrm dx =
- vertauschte Intgerationsgrenzen: \int _b^a f(x) \mathrm dx = \dots \int _a^b f(x) \mathrm dx
Lösung 1: Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen
\int c\mathrm dx = c\cdot x + C
\int x^n \mathrm dx = \frac{1}{n+1}\cdot x^{n-1} + C
\int\sin x\mathrm dx = -\cos x + C
\int\cos x\mathrm dx = \sin x + C
\int e^x \mathrm dx = e^x + C
\int\frac 1x \mathrm dx = \ln x + C
\int f'(x) \mathrm dx = f(x) + C
Lösung 2: Integrationsregeln
- Vielfache oder Bruchteile einer Funktion: \int c\cdot f(x)\mathrm dx = c\cdot\int f(x)\mathrm dx
- Summen von Funktionen: \int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm dx = \int f(x)\mathrm dx \pm \int g(x)\mathrm dx
- gleiche Integrationsgrenzen: \int_a^a f(x) \mathrm dx = 0
- vertauschte Intgerationsgrenzen: \int _b^a f(x) \mathrm dx = - \int _a^b f(x) \mathrm dx