Elektrische Heizmatte
Aufgabenstellung
Eine elektrische Heizmatte ist für die Verwendung im Auto mit einer Versorgungsspannung von U=12~\mathrm{V} ausgelegt und besitzt zwei Heizwicklungen mit unterschiedlichen Widerständen R_\mathrm A und R_\mathrm B. Durch geeignete Verschaltung dieser beiden Wicklungen lassen sich insgesamt vier Leistungsstufen der Heizmatte (bei unveränderter Versorgungsspannung U) realisieren.
- Wie müssen die beiden Heizwicklungen in den vier Leistungsstufen beschaltet werden? Sortieren Sie diese Stufen aufsteigend nach ihrer Leistung.
- Ist es möglich, die Widerstände der beiden Heizwicklungen so zu wählen, dass bei Umschalten auf die nächsthöhere Stufe die Leistung stets um denselben Faktor zunimmt? Wenn ja, wie müssen die Widerstände dafür ausgelegt sein?
- Welche Widerstände müssen die Heizwicklungen aufweisen, wenn die maximale Leistung (Stufe 4) der Heizmatte P_4 = 48~\mathrm{W} betragen soll?
- Welche Leistungen weisen in diesem Fall die anderen Heizstufen auf?
Lösung
In den folgenden Berechnungen sind die Bezeichnungen so gewählt, dass die Heizwicklung A den größeren Widerstand besitzt: R_\mathrm A \gt R_\mathrm B.
Teilaufgabe 1
Für die elektrische Leistung gilt bei konstanter Spannung:
P=\frac{U^2}{R} \, . Damit ergeben sich die vier Leistungsstufen aus den vier möglichen (Gesamt-) Widerständen:
- Niedrigste Leistung bei Reihenschaltung beider Heizwicklungen (maximaler Gesamtwiderstand): R_1 = R_\mathrm A + R_\mathrm B.
- Heizwicklung A einzeln: R_2 = R_\mathrm A.
- Heizwicklung B einzeln: R_3 = R_\mathrm B.
- Maximale Leistung bei Parallelschaltung beider Heizwicklungen (minimaler Gesamtwiderstand): R_4 = \frac{R_\mathrm A R_\mathrm B}{R_\mathrm A + R_\mathrm B}.
Teilaufgabe 2
Die Leistung der Heizmatte soll bei Übergang zur nächsthöheren Heizstufe jeweils um den Faktor f steigen. Um dies zu erreichen, muss der Widerstand einer Heizstufe um diesen Faktor f größer sein als der Widerstand der nächsthöheren Stufe:
f=\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_2}{R_3} = \frac{R_3}{R_4}\, .
Für die Heizstufen 1 und 2 ergibt sich daraus:
f=\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_\mathrm A + R_\mathrm B}{R_\mathrm A}\, .
Dasselbe ergibt sich für die Heizstufen 3 und 4:
f=\frac{R_3}{R_4} = \frac{R_\mathrm B}{\frac{R_\mathrm A R_\mathrm B}{R_\mathrm A + R_\mathrm B}} = \frac{R_\mathrm A + R_\mathrm B}{R_\mathrm A}\, .
Für die Heizstufen 2 und 3 folgt:
f=\frac{R_2}{R_3} = \frac{R_\mathrm A}{R_\mathrm B}\, .
Aus diesen Gleichungen folgt die Bedingung für die Widerstände:
\frac{R_\mathrm A}{R_\mathrm B} =\frac{R_\mathrm A + R_\mathrm B}{R_\mathrm A}\, . Umformen führt zur quadratischen Gleichung (bezüglich R_\mathrm A)
R_\mathrm A^2 - R_\mathrm B R_\mathrm A - R_\mathrm B^2 = 0 \, , deren allgemeine Lösungsformel
R_\mathrm A = \frac{R_\mathrm B}{2} \pm \sqrt{\frac{R_\mathrm B^2}{4} + R_\mathrm B^2} lautet. Dies führt zur Lösung
R_\mathrm A = \frac{1+\sqrt 5}{2}R_\mathrm B \, , wobei negative Lösungen für R_\mathrm A als unphysikalisch weggelassen wurden. Der Faktor f ist demzufolge:
f=\frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1{,}6 \, .
Es ist also möglich eine Leistungssteigerung um jeweils den gleichen Faktor zu realisieren. Für die Widerstände beider Heizwicklungen muss dabei gelten:
R_\mathrm A = f\cdot R_\mathrm B = \frac{1 + \sqrt 5}{2}R_\mathrm B \, . Zur Kontrolle kann diese Lösung anhand der Verhältnisse \frac{R_1}{R_2} beziehungsweise \frac{R_3}{R_4} überprüft werden.
Teilaufgabe 3
Bei vorgegebener Spannung und Leistung gilt für den (Gesamt-) Widerstand:
R_4 = \frac{U^2}{P_4} \, . Für die Heizstufe 4 wurde oben bereits die Parallelschaltung beider Heizwicklungen angegeben. Für deren Widerstand ergibt sich (mit R_\mathrm A = f R_\mathrm B):
R_4 = \frac{R_\mathrm A R_\mathrm B}{R_\mathrm A + R_\mathrm B} = \frac{fR_\mathrm B^2}{(f+1)R_\mathrm B} = \frac{f}{f+1}R_\mathrm B \, .
Setzt man beide Ausdrücke für R_4 gleich, erhält man für R_\mathrm B:
R_\mathrm B = \frac{f+1}{f}\cdot\frac{U^2}{P_4} = \left( 1+\frac{1}{f} \right)\frac{U^2}{P_4} = 4{,}85~\Omega \, .
Für die andere Heizwicklung ergibt sich damit ein Widerstand
R_\mathrm A = fR_\mathrm B = 7{,}85~\Omega \, .
Teilaufgabe 4
Mit den eben berechneten Widerständen ergibt sich für Heizstufe 1:
R_1 = R_\mathrm A + R_\mathrm B = 12{,}7~\Omega und
P_1 = \frac{U^2}{R_1} = 11{,}3~\mathrm W \, .
Für Heizstufe 2 gilt R_2 = R_\mathrm A:
P_2 = \frac{U^2}{R_2} = 18{,}3~\mathrm W \, .
Für Heizstufe 3 gilt R_3 = R_\mathrm B:
P_3 = \frac{U^2}{R_3} = 30~\mathrm W \, .
In Heizstufe 4 beträgt der Widerstand
R_4 = \frac{R_\mathrm A R_\mathrm B}{R_\mathrm A + R_\mathrm B} = 3~\Omega \, . Damit ergibt sich für die Leistung der geforderte Wert:
P_4 = \frac{U^2}{R_4} = 48~\mathrm W \, .
Zur Kontrolle: Diese Werte der Leistung entsprechen der anfänglichen Forderung, dass die Leistung von einer Stufe zur nächsten stets um denselben Faktor anwachsen soll.