Grimsehl-Versuch II
Aufgabenstellung
Im sogenannten Grimsehl-Versuch starten zwei identische Kugeln zeitgleich und aus gleicher Höhe ihre Bewegung: die eine führt einen freien Fall aus, während die andere horizontal abgeworfen wird. Die horizontal abgeworfene Kugel erreicht nach einer Flugzeit von t_\mathrm f =0{,}57~\mathrm s den Boden. Ihr Auftreffpunkt liegt d=78~\mathrm{cm} von dem der anderen Kugel entfernt.
In welcher Höhe über dem Boden befand sich der Abwurfpunkt?
Welche Anfangsgeschwindigkeit besaß die horizontal abgeworfene Kugel?
Welche Geschwindigkeiten besitzen die Kugeln beim Auftreffen auf den Boden?
Lösung Teil 1
Zunächst ist festzuhalten, dass beide Kugeln gleichzeitig den Boden erreichen, da in vertikale Richtung in beiden Fällen ein freier Fall vorliegt. Das Höhe-Zeit-Gesetz des freien Falls lautet:
h(t) = h_0 - \frac g2 t^2 \, . Nach der Flugzeit t_\mathrm f haben beide Kugeln den Boden (h=0) erreicht:
h(t_\mathrm f) = h_0 - \frac g2 t_\mathrm f^2 = 0 \, .
Daraus ergibt sich für die Anfangshöhe:
h_0 = \frac g2 t_\mathrm f^2 = 1{,}59~\mathrm m \, .
Lösung Teil 2
Die horizontale Bewegungskomponente der abgeworfenen Kugel entspricht einer gleichförmigen Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit. Die Überlagerung mit der Fallbewegung beeinflusst die horizontale Bewegung nicht. Während der Flugzeit t_\mathrm f wird die horizontale Strecke d zurückgelegt. Das bedeutet für die Abwurfgeschwindigkeit:
v_0 = \frac{d}{t_\mathrm f} = 1{,}37~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .
Lösung Teil 3
Die frei fallende Kugel besitzt nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente, die eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung darstellt. Die Endgeschwindigkeit nach der Fallzeit t_\mathrm f ist damit:
v_\mathrm{Fall} = g\cdot t_\mathrm f = 5{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .
Bei der horizontal abgeworfenen Kugel überlagern sich die horizontale und vertikale Geschwindigkeitskomponente vektoriell. Die vertikale Komponente ist identisch mit der frei fallenden Kugel, die horizontale Bewegung erfolgt gleichförmig mit der Abwurfgeschwindigkeit. Als Gesamtgschwindigkeit ergibt sich daraus:
v_\mathrm{Wurf} = \sqrt{v_\mathrm{hor}^2 + v_\mathrm{vert}^2} = \sqrt{\frac{d^2}{t_\mathrm f^2}+g^2t_\mathrm f^2} = 5{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .