Gefederte Aufhängung
Aufgabenstellung
In einem Labor soll eine empfindliche Messapparatur möglichst wenig durch Schwingungen des Gebäudes beeinflusst werden. Hierzu befindet sich die Apparatur in einer Rahmenkonstruktion, die über eine Feder an der Decke des Labors aufgehangen ist. Die Rahmenkonstruktion besteht aus einem Metallgestell (Masse 8~\mathrm{kg}), das eine massive Steinplatte (Masse 35~\mathrm{kg}) trägt. Auf dieser Platte wird die Apparatur (Masse 1{,}4~\mathrm{kg}) aufgestellt. Die Feder, die im unbelasteten Zustand eine Länge von 30~\mathrm{cm} aufweist, wird durch das Anhängen der kompletten Rahmenkonstruktion (einschließlich Messapparatur) um 5\% gedehnt. Welche Eigenfrequenz weist das so entstandene Federpendel auf?
Lösung
Die Kreisfrequenz eines Federpendels ist allgemein gegeben durch
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \, .
Die Frequenz ist demnach
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \, .
Im konkreten Fall der Aufgabenstellung ist für die Masse m=m_\mathrm{ges} die Gesamtmasse von Metallgestell, Steinplatte und Messapparatur einzusetzen. Die Federkonstante k ist nicht direkt gegeben, lässt sich aber aus der gegebenen Längenänderung der Feder bestimmen. Hierfür wird das Hooke’sche Gesetz der Feder angesetzt:
F= k\Delta l \, .
Die Längenänderung beträgt 5\% der Ausgangslänge: \Delta l = 0{,}05\cdot l. Die wirkende Kraft ist hier die Gewichtskraft der angehängten Rahmenkonstruktion:
F = F_\mathrm G = m_\mathrm{ges}g \, .
Für die Federkonstante ergibt dies:
k = \frac{m_\mathrm{ges}g}{0{,}05 l} \, .
Dies wird in die Formel der Frequenz eingesetzt:
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_\mathrm{ges}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{0{,}05 l}} = 4{,}1~\mathrm{Hz} \, .