Freifallturm II
Aufgabenstellung
Ein Freifallturm in einem Freizeitpark besitzt eine Gondel, in der 16 Fahrgäste Platz nehmen können. Diese Gondel wird von der Einstiegsplattform (Höhe h_0=0) durch ein elektrisches Aufzugsystem auf die maximale Höhe von 80~\mathrm m befördert. Dort wird die Gondel ausgeklinkt und fällt zunächst frei nach unten. In einer Höhe von 30 Metern über der Plattform wird das Bremssystem aktiviert, das die Gondel mit konstanter Kraft bis zum Stillstand auf Höhe der Einstiegsplattform abbremst. Die vollbesetzte Gondel habe eine Masse von m = 2{,}2~\mathrm t.
- Welche Geschwindigkeit besitzt die Gondel in dem Moment, wenn die Bremsen aktiviert werden?
- Welche Kraft übt das Bremssystem auf die Gondel aus?
Lösung Teil 1
Ausgangspunkt ist die Betrachtung der mechanischen Energie für die zwei Positionen der Gondel bei h_\mathrm{max} = 80~\mathrm m und h_\mathrm{Br} = 30~\mathrm m:
\begin{aligned} E_\mathrm{ges} (h_\mathrm{max}) & = E_\mathrm{ges}(h_\mathrm{Br}) \\ mgh_\mathrm{max} & = mgh_\mathrm{Br} + \frac{m}{2}v_\mathrm{Br}^2 \end{aligned}
Nach v_\mathrm{Br} umgestellt folgt daraus:
v_\mathrm{Br} = \sqrt{2g\left( h_\mathrm{max} - h_\mathrm{Br}\right)} = 31,3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .
Lösung Teil 2
Da die Gondel auf Höhe der Einstiegsplattform zum Stillstand kommt, ist dort deren mechanische Energie Null. Das Bremssystem muss also die zuvor vorhandene mechanische Energie vollständig dissipieren:
\begin{aligned} \left | W_\mathrm{Br} \right | & = E_\mathrm{ges}(h_\mathrm{Br}) = E_\mathrm{ges}(h_\mathrm{max}) \\ F_\mathrm{Br}s_\mathrm{Br} & = mgh_\mathrm{max} \end{aligned}
Für den Bremsweg gilt s_\mathrm{Br} = h_\mathrm{Br}. Für die erforderliche Bremskraft folgt daraus:
F_\mathrm{Br} = mg\frac{h_\mathrm{max}}{h_\mathrm{Br}} = 57{,}6~\mathrm{kN} \, .