Freifallturm I
Aufgabenstellung
In einem „shot’n’drop“ Freifallturm wird die Gondel mit den Fahrgästen zunächst vom Boden aus nach oben katapultiert. Dieser „Abschuss“ dauere 0{,}92~\mathrm s. Anschließend steige die Gondel weitere 35~\mathrm m in die Höhe, bevor sie ihren freien Fall beginnt. In einer Höhe von 17~\mathrm m über dem Boden werde das Bremssystem aktiviert, das die Gondel zum Stillstand am Boden bringt.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Gondel unmittelbar nach dem Abschuss.
Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung während des Abschussvorgangs. Geben Sie diese in \frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} sowie in Vielfachen der Fallbeschleunigung an.
Welche Maximalhöhe erreicht die Gondel?
Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung während des Bremsvorgangs.
Skizzieren Sie für den gesamten Vorgang die Diagramme h(t) (Höhe-Zeit), v(t) (Geschwindigkeit-Zeit) und a(t) (Beschleunigung-Zeit). Nehmen Sie dabei konstante Beschleunigungen bei Abschuss und Bremsvorgang an.
Lösung Teil 1
Die Bewegung der Gondel zwischen Abschuss und Bremsvorgang entspricht einem senkrechten Wurf nach oben. Dabei gilt das allgemeine Höhe-Zeit-Gesetz:
h(t) = h_0 + v_0 t - \frac g2 t^2 \, . Für die gegebene Steighöhe h_\mathrm s =35~\mathrm m folgt daraus:
h_\mathrm s = v_0t_\mathrm s-\frac g2 t_\mathrm s^2 \, , wobei t_\mathrm s die Steigzeit angibt. Für diese folgt aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
v(t_\mathrm s) = v_0-gt_\mathrm s = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm s = \frac{v_0}{g} \, . Eingesetzt in die Formel der Steighöhe ergibt sich:
h_\mathrm s = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac g2\cdot \frac{v_0^2}{g^2} = \frac{v_0^2}{2g}\, . Damit ergibt sich als Anfangsgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Abschuss:
v_0 = \sqrt{2gh_\mathrm s} = 26{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}
Lösung Teil 2
Zur Berechnung der mittleren Beschleunigung kann von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausgegangen werden. Es gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (ohne Anfangsgeschwindigkeit):
v(t) = at \, . Dabei wird nach der Beschleunigungsdauer t_\mathrm B=0{,}92~\mathrm s die oben errechnete Geschwindigkeit erreicht. Für die Beschleunigung folgt daraus:
a=\frac{v_0}{t_\mathrm B} = \frac{\sqrt{2gh_\mathrm s}}{t_\mathrm B} = 28{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 2{,}9~\mathrm g \, .
Lösung Teil 3
Zur Ermittlung der Gesamthöhe kommt zur gegebenen Steighöhe (nach dem Abschuss) noch die während des Abschussvorgangs zurückgelegte Strecke h_\mathrm B hinzu. Es wird wieder eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angenommen und das Höhe-Zeit-Gesetz (ohne Anfangshöhe & und ohne Anfangsgeschwindigkeit) angesetzt:
h_\mathrm B = \frac 12 at_\mathrm B^2 = \frac 12\frac{\sqrt{2gh_\mathrm s}}{t_\mathrm B}t_\mathrm B^2 = \sqrt{\frac{gh_\mathrm s}{2}}t_\mathrm B = 12{,}1~\mathrm m \, .
Für die Maximalhöhe folgt dann
h_\mathrm{max} = h_\mathrm B + h_\mathrm s = 47{,}1~{\mathrm m} \, .
Lösung Teil 4
Für den Bremsvorgang steht ein Bremsweg s_\mathrm{Br} = 17~\mathrm m zur Verfügung. Zur Ermittlung der mittleren Bremsverzögerung wird wiederum eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angesetzt. Dabei gelten das Weg-Zeit- und das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
s(t) = v_\mathrm F t - \frac{a_\mathrm{Br}}{2} t^2 v(t) = v_\mathrm F - a_\mathrm{Br}t \, , wobei v_\mathrm F die im freien Fall bis zum Einsetzen der Bremsen erreichte Geschwindigkeit bezeichnet. Die Dauer des Bremsvorgangs t_\mathrm{Br} ist unbekannt. Daher muss die Zeit aus den obigen Formeln eliminiert werden. Am Ende des Bremsvorgangs ist die Geschwindigkeit auf 0 abgesunken, d.h.
v(t_\mathrm{Br}) = v_\mathrm F - at_\mathrm{Br} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F}{a_\mathrm{Br}} \, . Eingesetzt in das Weg-Zeit-Gesetz folgt für den Bremsweg
s(t_\mathrm{Br}) = s_\mathrm{Br} = v_\mathrm F \cdot \frac{v_\mathrm F}{a_\mathrm{Br}} - \frac 12 a_\mathrm{Br} \frac{v_\mathrm F^2}{a_\mathrm{Br}^2} = \frac{v_\mathrm F^2}{2a_\mathrm{Br}} \, .
Für die Bremsverzögerung folgt daraus:
a_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F^2}{2s_\mathrm{Br}} \, .
Die Fallgeschwindigkeit v_\mathrm F folgt aus der Fallhöhe h_\mathrm F vom höchsten Punkt bis zum Einsetzen der Bremsen:
h_\mathrm F = h_\mathrm{max} - s_\mathrm{Br} \, . Aus dem Weg-Zeit-Gesetz dieses freien Falls folgt:
h_\mathrm F = \frac g2 t_\mathrm F^2 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm F = \sqrt{\frac{2h_\mathrm F}{g}} \, . Damit ergibt sich für die erreichte Fallgeschwindigkeit:
v_\mathrm F = gt_\mathrm F = g\sqrt{\frac{2h_\mathrm F}{g}} = \sqrt{2gh_\mathrm F} \, . Dies wird in die Formel für die Bremsverzögerung eingesetzt:
a_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F^2}{2s_\mathrm{Br}} = \frac{\sqrt{2gh_\mathrm F}^2}{2s_\mathrm{Br}} = g\cdot \frac{h_\mathrm F}{s_\mathrm{Br}} = 17{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Lösung Teil 5
Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die geforderten Diagramme mit den berechneten Kurven der Höhe h(t), der Geschwindigkeit v(t) und der Beschleunigung a(t). Die Berechnung erfolgte anhand der in der Aufgabenstellung gegebenen Werte. Die einzelnen Kurven widerspiegeln den Bewegungsablauf des Freifallturms daher nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ. Da in der Aufgabenstellung nur Skizzen gefordert waren, sind die quantitativen Beschriftungen der Diagrammachsen zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich. Die angegebenen Zeiten haben folgende Bedeutungen:
t_1: Ende des Abschussvorgangs,
t_2: Erreichen des Umkehrpunkts,
t_3: Einsetzen der Bremsen,
t_4 (rechter Rand der Diagramme): Ende des Bremsvorgangs, Stillstand am Boden.
Beschreibung des h(t)-Diagramms:
t=0 \rightarrow t_1: Nach oben geöffneter Parabelast
t_1 \rightarrow t_3: Nach unten geöffnete Parabel, Scheitelpunkt bei t_2
t_3 \rightarrow t_4: Nach oben geöffnete Parabel
Bei t_1 und t_3 darf die Kurve keinen Knick aufweisen!
Beschreibung des v(t)-Diagramms:
t=0 \rightarrow t_1: Linearer Anstieg v=0 \rightarrow v_0
t_1 \rightarrow t_3: Lineare Abnahme v_0 \rightarrow v_\mathrm F, Nulldurchgang bei t_2
t_3 \rightarrow t_4: Linearer Anstieg v_\mathrm F \rightarrow v=0
Beschreibung des a(t)-Diagramms:
t=0 \rightarrow t_1: a= \mathrm{const.} \approx 3~\mathrm g
t_1 \rightarrow t_3: a= \mathrm{const.} = -\mathrm g
t_3 \rightarrow t_4: a= \mathrm{const.} \approx 2~\mathrm g
Anmerkung: Die Diagramme wurden mithilfe eines Jupyter Notebooks erstellt, das hier heruntergeladen werden kann.