Foto-Objektiv
Aufgabenstellung
Auf einem Fotoobjektiv befinden sich folgende Angaben: Brennweite 70~\mathrm{mm}, Fokussierbereich: 0{,}85~\mathrm m\dots\infty (gemessen als Abstand zwischen Objekt und Sensorebene). Die Scharfstellung erfolgt durch Verschieben des Objektivs entlang der optischen Achse. Um welche Strecke d muss das Objektiv an der Kamera verschoben werden können, um diesen Fokussierbereich zu realisieren? (Das Objektiv kann dabei wie eine dünne Linse behandelt werden.)
Lösung
In der Ferneinstellung des Objektivs (g_\mathrm{fern}=\infty) gilt:
b_\mathrm{fern}=f=70~\mathrm{mm}
Diese Bildweite besteht, solange die Gegenstandsweite erheblich größer ist als die Brennweite des Objektivs (g\gg f). Rückt der Gegenstand näher an die Kamera heran, so vergrößert sich die Bildweite und das Objektiv muss entsprechend weiter von der Sensorebene wegrücken. Die Naheinstellgrenze ist erreicht, wenn das Objektiv um den Weg d verschoben wurde. Dann gilt:
b_\mathrm{nah}=f+d
Für das angegebene Objektiv beträgt die Naheinstellgrenze s=850~\mathrm{mm}:
s=g_\mathrm{nah}+b_\mathrm{nah}=850~\mathrm{mm} \quad \rightarrow \quad g_\mathrm{nah}=s-b_\mathrm{nah}
Wir betrachten weiterhin die Naheinstellung, verzichten im Folgenden jedoch aus Gründen der Übersichtlichkeit auf den Index „\mathrm{nah}“. Die Abbildungsgleichung lautet für diesen Fall:
\begin{aligned} \frac 1f & =\frac 1g + \frac 1b \\ & = \frac{1}{s-b} + \frac{1}{b}\\ & = \frac{b}{(s-b)b} + \frac{s-b}{(s-b)b} \\ & = \frac{s}{(s-b)b} \end{aligned}
Aus dem ersten und letzten Ausdruck dieser Reihe von Gleichungen folgt:
\frac{1}{f} = \frac{s}{(s-b)b} \quad \longrightarrow \quad b(s-b)=sf \, .
Dies führt zu der quadratischen Gleichung
b^2 -sb+sf=0 \, ,
deren Lösungsformel
b_{1/2}=\frac s2\pm\sqrt{\frac{s^2}{4}-sf}
lautet. Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung ergeben sich die beiden Lösungen
b_1 = 773~\mathrm{mm} \quad b_2 =77~\mathrm{mm} \, .
Fotografisch relevant ist nur b_2 (ein Objektiv, dass sich 70~\mathrm{cm} vor der Kamera befindet ist schwer zu realisieren) und es gilt
b_\mathrm{nah}=b_2=77~\mathrm{mm} \, .
Damit ergibt sich für den Verschiebeweg des Objektivs:
d=b_\mathrm{nah} - b_\mathrm{fern} = 7~\mathrm{mm} \, .