Federpendel
Aufgabenstellung
Ein einfaches Federpendel besteht aus einer vertikal ausgerichteten Schraubenfeder (Federkonstante k, Länge im unbelasteten Zustand l_\mathrm u), deren oberes Ende an einem stabilen Aufhängepunkt befestigt ist. An das untere Ende der Feder wird ein Pendelkörper der Masse m angehängt, wodurch sich die Feder auf die Länge l_\mathrm b dehnt. In dieser Form kann die Bewegung des Federpendels als ungedämpft angesehen werden. Seine Kreisfrequenz werde mit \omega_0 bezeichnet.
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf das oben beschriebene Federpendel. Beurteilen Sie deren Richtigkeit.
| Aussage | Richtig | Falsch |
|---|---|---|
| Die Masse des Pendelkörpers hat keinen Einfluss auf die Periodendauer dieses Pendels. | ||
| Wird das Federpendel auf eine „härtere“ Feder (größere Federkonstante) umgebaut, so verringert sich seine Frequenz. | ||
| Mit zunehmender Amplitude der Schwingung nimmt die Periodendauer zu. | ||
| Auf dem Mond, wo die Fallbeschleunigung nur etwa ein Sechstel des Wertes auf der Erde beträgt, würde sich das Pendel trotzdem mit der gleichen Frequenz bewegen wie auf der Erde. | ||
| Sowohl das Orts-Zeit-Gesetz als auch das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Pendelkörpers werden durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben. | ||
| Wird für das Pendel eine andere Feder mit größerer Länge l_\mathrm u verwendet, so wird zwangsläufig die Periodendauer zunehmen. |
Lösung
Für Kreisfrequenz \omega, Frequenz f und Periodendauer T eines Federpendels gilt:
\begin{aligned} \omega & = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ f & = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \\ T & = \frac{1}{f} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \, . \end{aligned}
- Die Masse des Pendelkörpers hat keinen Einfluss auf die Periodendauer dieses Pendels.
- Falsch: Die Periodendauer ist proportional zu \sqrt m.
- Wird das Federpendel auf eine „härtere“ Feder (größere Federkonstante) umgebaut, so verringert sich seine Frequenz.
- Falsch: Eine härtere Feder erhöht die Frequenz: f\propto\sqrt k.
- Mit zunehmender Amplitude der Schwingung nimmt die Periodendauer zu.
- Falsch: Die Periodendauer ist unabhängig von der Amplitude.
- Auf dem Mond, wo die Fallbeschleunigung nur etwa ein Sechstel des Wertes auf der Erde beträgt, würde sich das Pendel trotzdem mit der gleichen Frequenz bewegen wie auf der Erde.
- Richtig: Die Fallbeschleunigung hat zwar einen Einfluss auf die Dehnung der Feder (Verhältnis \frac{l_\mathrm b}{l_\mathrm u}), nicht aber auf die Schwingung des Pendels.
- Sowohl das Orts-Zeit-Gesetz als auch das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Pendelkörpers werden durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben.
- Richtig: Das Federpendel führt eine harmonische Schwingung aus, die durch eine einzelne Sinus- oder Kosinusfunktio beschrieben werden kann.
- Wird für das Pendel eine andere Feder mit größerer Länge l_\mathrm u verwendet, so wird zwangsläufig die Periodendauer zunehmen.
- Falsch: Entscheidend für die Periodendauer ist allein die Federkonstante. Eine längere Feder muss nicht zwangsläufig eine kleinere Federkonstante besitzen.