Aufgabensammlung Experimentalphysik

Elektrostatische Wechelwirkung

Aufgabenstellung

Zum Nachweis der elektrostatischen Wechselwirkung werden zwei Tischtennisbälle (Masse $m=2{,}7~\mathrm g$, Durchmesser $D=40~\mathrm{mm}$) genutzt, die jeweils an einem $l=1~\mathrm m$ langen Faden im Abstand $d=10~\mathrm{cm}$ voneinander aufgehängt sind (Abstand gemessen zwischen den Mittelpunkten der Bälle). Beide Bälle werden mit derselben elektrischen Ladung $Q$ aufgeladen. Dabei werden sie jeweils um eine horizontale Strecke $x = 4~\mathrm{cm}$ aus ihrer Ruhelage ausgelenkt.

1. Welchen Betrag hat die Ladung $Q$ auf jedem der Bälle?
2. Auf welche Spannung (gegenüber Masse) sind die Bälle dabei aufgeladen?

Lösung Teil 1

Die folgende Skizze zeigt den Versuchsaufbau und veranschaulicht die in der Rechnung auftretenden Abmessungen:

Auf die Bälle wirken jeweils die Coulombkraft $F_\mathrm C$ in horizontale Richtung und die Gewichtskraft $F_\mathrm G$ in vertikale Richtung. Die Bewegung der Bälle erfolgt auf der durch die Fadenlänge vorgegebenen Kreisbahn. Bezogen auf diese Kreisbahn können beide Kräfte in tangentiale und radiale Komponente zerlegt werden:

Die Gleichgewichtslage ist erreicht, wenn die resultierende Tangentialkraft verschwindet. Diese Gleichgewichtsbedingung lässt sich auf zwei Herangehensweisen auf das Verhältnis der Kräfte übertragen:

1. Die Tangentialkomponenten beider Kräfte müssen den gleichen Betrag aufweisen. Die Tangentialkomponente der Gewichtskraft ist $F_\mathrm G \sin\alpha$, die der Coulombkraft lautet $F_\mathrm C \cos\alpha$. Daraus folgt

   $\begin{aligned} |\vec F_\mathrm{G,tan}| & = |\vec F_\mathrm{C,tan}| \\ F_\mathrm G \sin\alpha & = F_\mathrm C \cos\alpha \end{aligned}$

   beziehungsweise

   $F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha \, .$

2. Die resultierende Kraft weist in radiale Richtung. Dann gilt

   $\frac{F_\mathrm C}{F_\mathrm G} = \tan\alpha$

   beziehungsweise

   $F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha \, .$

Der Winkel $\alpha$ gibt die Auslenkung der Kugel aus der Senkrechten an. Für ihn gilt:

$\sin\alpha = \frac{x}{l}$

sowie

$\tan\alpha = \frac{x}{l-h} = \frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}} \, .$

Die Gleichheit $l-h = \sqrt{l^2-x^2}$ folgt dabei aus dem Satz des Pythagoras.

In die Gleichunng $F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha$ werden die Formeln für Coulomb- und Gewichtskraft eingesetzt:

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{(d+2x)^2} = mg\frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}} \, .$

Anschließend wird nach der gesuchten Ladung aufgelöst:

$Q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\left( d+2x\right)^2\frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}}} \, .$

Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung ergibt sich

$Q=61{,}8~\mathrm{nC} \, .$

Alternativer Lösungsweg anhand der Energie

Alternativ zu den Kräften kann auch die Gesamtenergie (Summe aus Lage- und Coulombenergie) des Systems betrachtet werden:

$\begin{aligned} E_\mathrm{ges} & = E_\mathrm{Lage} + E_\mathrm C\\ & = 2mgh + \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d+2x)} \, . \\ \end{aligned}$

Der Faktor $2$ in der Lageenergie brücksichtigt, dass beide Kugeln ausgelenkt werden. Für die Höhe $h$ folgt aus der Auslenkung $x$ anhand des Satzes des Pythagoras

$h=l-\sqrt{l^2-x^2} \, .$

Und damit ergibt sich die Gesamtenergie

$E_\mathrm{ges} = 2mg(l-\sqrt{l^2-x^2}) + \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d+2x)} \, .$

In der Gleichgewichtslage der Kugeln ist ihre Gesamtenergie minimal:

$\frac{\mathrm d E_\mathrm{ges}}{\mathrm d x} = \frac{2mgx}{\sqrt{l^2-x^2}} - \frac{2Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d-2x)^2} = 0$

Wird dies nach $Q$ aufgelöst, ergibt sich dieselbe Formel wie im ersten Lösungsweg.

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass ein Energieansatz der Form $\Delta E_\mathrm{Lage} = - \Delta E_\mathrm C$ nicht angewendet werden. Die Auslenkung der Kugeln aus der Senkrechten führt zu einer Verringerung der Gesamtenergie. Die Abnahme der Coulombenergie überwiegt dabei die Zunahme der Lageenergie.

Lösung Teil 2

Der Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung ist durch die Kapazität bestimmt:

$C=\frac{Q}{U} \quad \textrm{bzw.} \quad U=\frac{Q}{C} \, .$

Der Tischtennisball wird als isolierte Kugelelektrode aufgefasst. Dabei gilt für die Kapazität:

$C_\mathrm{Kugel} = 4\pi\varepsilon_0 R_\mathrm{Kugel} = 2\pi\varepsilon_0 D \, .$

Daraus folgt für die Spannung

$U = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 D} = 55{,}5~\mathrm{kV} \, .$