Elektrostatische Wechelwirkung
Aufgabenstellung
Zum Nachweis der elektrostatischen Wechselwirkung werden zwei Tischtennisbälle (Masse m=2{,}7~\mathrm g, Durchmesser D=40~\mathrm{mm}) genutzt, die jeweils an einem l=1~\mathrm m langen Faden im Abstand d=10~\mathrm{cm} voneinander aufgehängt sind (Abstand gemessen zwischen den Mittelpunkten der Bälle). Beide Bälle werden mit derselben elektrischen Ladung Q aufgeladen. Dabei werden sie jeweils um eine horizontale Strecke x = 4~\mathrm{cm} aus ihrer Ruhelage ausgelenkt.
- Welchen Betrag hat die Ladung Q auf jedem der Bälle?
- Auf welche Spannung (gegenüber Masse) sind die Bälle dabei aufgeladen?
Lösung Teil 1
Die folgende Skizze zeigt den Versuchsaufbau und veranschaulicht die in der Rechnung auftretenden Abmessungen:
Auf die Bälle wirken jeweils die Coulombkraft F_\mathrm C in horizontale Richtung und die Gewichtskraft F_\mathrm G in vertikale Richtung. Die Bewegung der Bälle erfolgt auf der durch die Fadenlänge vorgegebenen Kreisbahn. Bezogen auf diese Kreisbahn können beide Kräfte in tangentiale und radiale Komponente zerlegt werden:
Die Gleichgewichtslage ist erreicht, wenn die resultierende Tangentialkraft verschwindet. Diese Gleichgewichtsbedingung lässt sich auf zwei Herangehensweisen auf das Verhältnis der Kräfte übertragen:
Die Tangentialkomponenten beider Kräfte müssen den gleichen Betrag aufweisen. Die Tangentialkomponente der Gewichtskraft ist F_\mathrm G \sin\alpha, die der Coulombkraft lautet F_\mathrm C \cos\alpha. Daraus folgt
\begin{aligned} |\vec F_\mathrm{G,tan}| & = |\vec F_\mathrm{C,tan}| \\ F_\mathrm G \sin\alpha & = F_\mathrm C \cos\alpha \end{aligned}
beziehungsweise
F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha \, .
Die resultierende Kraft weist in radiale Richtung. Dann gilt
\frac{F_\mathrm C}{F_\mathrm G} = \tan\alpha
beziehungsweise
F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha \, .
Der Winkel \alpha gibt die Auslenkung der Kugel aus der Senkrechten an. Für ihn gilt:
\sin\alpha = \frac{x}{l}
sowie
\tan\alpha = \frac{x}{l-h} = \frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}} \, .
Die Gleichheit l-h = \sqrt{l^2-x^2} folgt dabei aus dem Satz des Pythagoras.
In die Gleichunng F_\mathrm C = F_\mathrm G \tan\alpha werden die Formeln für Coulomb- und Gewichtskraft eingesetzt:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{(d+2x)^2} = mg\frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}} \, .
Anschließend wird nach der gesuchten Ladung aufgelöst:
Q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mg\left( d+2x\right)^2\frac{x}{\sqrt{l^2-x^2}}} \, .
Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung ergibt sich
Q=61{,}8~\mathrm{nC} \, .
Alternativer Lösungsweg anhand der Energie
Alternativ zu den Kräften kann auch die Gesamtenergie (Summe aus Lage- und Coulombenergie) des Systems betrachtet werden:
\begin{aligned} E_\mathrm{ges} & = E_\mathrm{Lage} + E_\mathrm C\\ & = 2mgh + \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d+2x)} \, . \\ \end{aligned}
Der Faktor 2 in der Lageenergie brücksichtigt, dass beide Kugeln ausgelenkt werden. Für die Höhe h folgt aus der Auslenkung x anhand des Satzes des Pythagoras
h=l-\sqrt{l^2-x^2} \, .
Und damit ergibt sich die Gesamtenergie
E_\mathrm{ges} = 2mg(l-\sqrt{l^2-x^2}) + \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d+2x)} \, .
In der Gleichgewichtslage der Kugeln ist ihre Gesamtenergie minimal:
\frac{\mathrm d E_\mathrm{ges}}{\mathrm d x} = \frac{2mgx}{\sqrt{l^2-x^2}} - \frac{2Q^2}{4\pi\varepsilon_0 (d-2x)^2} = 0
Wird dies nach Q aufgelöst, ergibt sich dieselbe Formel wie im ersten Lösungsweg.
Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass ein Energieansatz der Form \Delta E_\mathrm{Lage} = - \Delta E_\mathrm C nicht angewendet werden. Die Auslenkung der Kugeln aus der Senkrechten führt zu einer Verringerung der Gesamtenergie. Die Abnahme der Coulombenergie überwiegt dabei die Zunahme der Lageenergie.
Lösung Teil 2
Der Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung ist durch die Kapazität bestimmt:
C=\frac{Q}{U} \quad \textrm{bzw.} \quad U=\frac{Q}{C} \, .
Der Tischtennisball wird als isolierte Kugelelektrode aufgefasst. Dabei gilt für die Kapazität:
C_\mathrm{Kugel} = 4\pi\varepsilon_0 R_\mathrm{Kugel} = 2\pi\varepsilon_0 D \, .
Daraus folgt für die Spannung
U = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 D} = 55{,}5~\mathrm{kV} \, .