Eisläufer
Aufgabenstellung
Auf einer Eislaufbahn prallen zwei Eisläufer aufeinander. Person 1 (Masse m_1 = 85~\mathrm{kg}) hatte zuvor eine Geschwindigkeit von v_1 = 0{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}. Person 2 (Masse m_2 = 63~\mathrm{kg}) hatte eine anfängliche Geschwindigkeit v_2 = 1{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}. Der Zusammenstoß geschah in einem rechten Winkel zueinander. Um einen Sturz zu vermeiden klammern sich die beiden Eisläufer aneinder fest und rutschen gemeinsam weiter. Der gesamte Vorgang wird als reibungsfrei angenommen.
- Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Eisläufer nach dem Stoß weiter?
- In welche Richtung verläuft diese Bewegung (bezogen auf die ursprüngliche Bewegungsrichtung der ersten Person)?
Lösung Teil 1
Da die beiden Eisläufer sich anfangs in einem rechten Winkel aufeinander zu bewegen, wird zur Beschreibung dieses Vorgangs ein 2D-Koordinatensystem benötigt. Dieses wird so definiert, dass die x-Richtung mit der anfänglichen Bewegung von Person 1 übereinstimmt. Die y-Richtung wird dementsprechend mit der anfänglichen Richtung von Person 2 identifiziert.
Vor dem Zusammenstoß zeigt der Impuls der Person 1 in x-Richtung:
p_\mathrm x = p_1 = m_1 v_1 \, .
Person 2 besitzt einen Anfangsimpuls in y-Richtung:
p_\mathrm y = p_2 = m_2 v_2 \, .
Beide Einzelimpulse überlagern sich zum Gesamtimpuls \vec p (vor dem Stoß)
\vec p = \begin{pmatrix} p_\mathrm x \\ p_\mathrm y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_1 v_1 \\ m_2 v_2 \end{pmatrix} \, .
Dieser Impuls bleibt während des Zusammenstoßes erhalten. Dies gilt sowohl für den Betrag als auch für die Richtung. Als Betrag des oben angegebenen Impulsvektors ergibt sich:
\left| \vec p \right| = \sqrt{p_\mathrm x^2 + p_\mathrm y^2} = \sqrt{m_1^2v_1^2 + m_2^2v_2^2} \, .
Nach dem Stoß bewegen sich beide Eisläufer gemeinsam mit der Geschwindigkeit v' weiter. Der Impuls hat dann den Betrag:
\left| \vec p' \right| = \left( m_1 + m_2 \right) v' \, .
Da beide Beträge gleich sein müssen, folgt für die Geschwindigkeit v':
v' = \frac{\sqrt{m_1^2v_1^2 + m_2^2v_2^2}}{m_1 + m_2} = 0{,}75~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\, .
Lösung Teil 2
Da die Impulserhaltung auch die Richtung der Impulse einschließt, muss die Bewegungsrichtung nach dem Stoß mit der Richtung des Gesamtimpulses vor dem Stoß übereinstimmen. Für den Winkel \alpha zwischen der Richtung von \vec p und der x-Achse gilt:
\tan\alpha = \frac{p_\mathrm y}{p_\mathrm x} = \frac{m_2v_2}{m_1v_1} \, .
Damit ergibt sich für den Winkel \alpha:
\alpha = \arctan\left( \frac{m_2v_2}{m_1v_1} \right) = 52° \, .