Eisenbahn auf Neigungsstrecke
Aufgabenstellung
Eine Eisenbahnstrecke überwindet auf einer Länge von s = 6{,}8~\mathrm{km} eine Höhendifferenz von h = 158~\mathrm m. Diese Strecke werde von einem Güterzug mit einer Gesamtmasse von m = 900~\mathrm t befahren.
Reibungseffekte dürfen bei allen Teilaufgaben vernachlässigt werden.
- Welche Bremskraft F_\mathrm B müssen die Zugbremsen bei talwärtiger Fahrt aufbringen, damit der Zug eine konstante Geschwindigkeit behält?
- Welche Arbeit muss der Antrieb der Lokomotive bei der Bergfahrt verrichten?
- Welche durchschnittliche Leistung P erbringt der Antrieb, wenn die Bergfahrt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v = 45~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} erfolgt?
Lösung Teil 1
Bei talwärtiger Fahrt wirkt die Hangabtriebskraft als beschleunigende Kraft auf den Zug. Damit der Zug eine konstante Geschwindigkeit behält, müssen die Bremsen ebendiese Kraft kompensieren:
F_\mathrm B = F_\mathrm H = mg\sin\alpha \, .
Für den Neigungswinkel \alpha gilt
\sin\alpha = \frac{h}{s} \, .
Da keine weiteren Angaben hierzu vorliegen, wird davon ausgegangen, dass die Neigung über die gesamte Gefällestrecke konstant ist. Für die Bremskraft folgt daraus:
F_\mathrm B = mg \frac{h}{s} = 205{,}1~\mathrm{kN} \, .
Lösung Teil 2
Die zu verrichtende Arbeit entspricht dem Zuwachs an potentieller Energie des Zugs:
W = \Delta E_\mathrm{pot} = mgh = 1395~\mathrm{MJ} \, .
Lösung Teil 3
Zur Bestimmung der Leistung muss die verrichtete Arbeit (siehe Teilaufgabe 2) durch die benötigte Zeit geteilt werden:
P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} \, .
Die benötigte Zeit ergibt sich aus den Gesetzen der gleichförmigen Bewegung (da v=\mathrm{const}):
v=\frac{s}{t} \quad \Rightarrow \quad t =\frac{s}{v} \, .
Damit ergibt sich
P = \frac{mghv}{s} = 2564~\mathrm{kW} \, .
Alternativ kann die für die Mechanik gültige Formel
P = Fv
angesetzt werden. Die wirkende Kraft ist hierbei wieder die Hangabtriebskraft (siehe Teilaufgabe 1), sodass gilt:
P = F_\mathrm H v = mg\frac{h}{s} v \, .
Dies ist dieselbe Formel wie im ersten Lösungsansatz.