Aufgabensammlung Experimentalphysik

Eisenbahn auf Neigungsstrecke

Aufgabenstellung

Eine Eisenbahnstrecke überwindet auf einer Länge von $s = 6{,}8~\mathrm{km}$ eine Höhendifferenz von $h = 158~\mathrm m$. Diese Strecke werde von einem Güterzug mit einer Gesamtmasse von $m = 900~\mathrm t$ befahren.

Reibungseffekte dürfen bei allen Teilaufgaben vernachlässigt werden.

1. Welche Bremskraft $F_\mathrm B$ müssen die Zugbremsen bei talwärtiger Fahrt aufbringen, damit der Zug eine konstante Geschwindigkeit behält?
2. Welche Arbeit muss der Antrieb der Lokomotive bei der Bergfahrt verrichten?
3. Welche durchschnittliche Leistung $P$ erbringt der Antrieb, wenn die Bergfahrt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v = 45~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ erfolgt?

Lösung Teil 1

Bei talwärtiger Fahrt wirkt die Hangabtriebskraft als beschleunigende Kraft auf den Zug. Damit der Zug eine konstante Geschwindigkeit behält, müssen die Bremsen ebendiese Kraft kompensieren:

$F_\mathrm B = F_\mathrm H = mg\sin\alpha \, .$

Für den Neigungswinkel $\alpha$ gilt

$\sin\alpha = \frac{h}{s} \, .$

Da keine weiteren Angaben hierzu vorliegen, wird davon ausgegangen, dass die Neigung über die gesamte Gefällestrecke konstant ist. Für die Bremskraft folgt daraus:

$F_\mathrm B = mg \frac{h}{s} = 205{,}1~\mathrm{kN} \, .$

Lösung Teil 2

Die zu verrichtende Arbeit entspricht dem Zuwachs an potentieller Energie des Zugs:

$W = \Delta E_\mathrm{pot} = mgh = 1395~\mathrm{MJ} \, .$

Lösung Teil 3

Zur Bestimmung der Leistung muss die verrichtete Arbeit (siehe Teilaufgabe 2) durch die benötigte Zeit geteilt werden:

$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} \, .$

Die benötigte Zeit ergibt sich aus den Gesetzen der gleichförmigen Bewegung (da $v=\mathrm{const}$):

$v=\frac{s}{t} \quad \Rightarrow \quad t =\frac{s}{v} \, .$

Damit ergibt sich

$P = \frac{mghv}{s} = 2564~\mathrm{kW} \, .$

Alternativ kann die für die Mechanik gültige Formel

$P = Fv$

angesetzt werden. Die wirkende Kraft ist hierbei wieder die Hangabtriebskraft (siehe Teilaufgabe 1), sodass gilt:

$P = F_\mathrm H v = mg\frac{h}{s} v \, .$

Dies ist dieselbe Formel wie im ersten Lösungsansatz.