Interferenz am Einzelspalt
Für diese Aufgabe liegen zwei unterschiedliche Formulierungen vor, die sich in den gegebenen Größen unterscheiden. Der Lösungsweg verläuft für beide Varianten konzeptionell gleich. Allerdings werden aufgrund der verschiedenen Vorgaben in den Aufgabenstellungen unterschiedliche Formeln verwendet. Aus diesem Grund ist auch die Lösung separat für beide Varianten aufgeschrieben.
Aufgabenstellung (Variante 1)
Ein Laserstrahl mit der Wellenlänge \lambda=635~\mathrm{nm} ist auf einen schmalen Spalt gerichtet. Auf einem Schirm, der sich l=1~\mathrm m hinter dem Spalt befindet, wird dabei ein Interferenzmuster beobachtet. Die beiden Maxima erster Ordnung (die sich links und rechts neben dem zentralen Maximum nullter Ordnung befinden), haben einen Abstand x=1{,}75~\mathrm{cm} voneinander. Berechnen sie daraus die Spaltbreite d.
Aufgabenstellung (Variante 2)
Die Breite eines schmalen Spalts soll mit einer optischen Methode vermessen werden. Hierzu wird der Spalt mit Laserlicht der Wellenlänge \lambda = 532~\mathrm{nm} beleuchtet. In einem Abstand von l = 1~\mathrm m hinter dem Spalt ist ein Beobachtungsschirm aufgestellt, auf dem das entstehende Interferenzmuster ausgemessen wird. Dabei weisen die beiden Minima zweiter Ordnung (in der linken und rechten Hälfte des Interferenzmusters) einen gegenseitigen Abstand von x = 2{,}4~\mathrm{cm} auf. Berechnen Sie daraus die Spaltbreite d.
Lösung (Variante 1)
Für den Beugungswinkel \alpha dieses Maximums gilt
\tan\alpha=\frac{x}{2l} beziehungsweise
\alpha=\arctan\left(\frac{x}{2l}\right) = 0{,}5° \, .
Die allgemeine Maximabedingung für den Einzelspalt lautet:
d\sin\alpha_\mathrm{max} = \frac{2m+1}{2}\lambda \, .
Da es sich hier um die Maxima erster Ordnung handelt, gilt m=1 und für die Spaltbreite folgt
d=\frac{1,5\lambda}{\sin\alpha}=\frac{1,5\lambda}{\sin\left[\arctan\left(\frac{x}{2l}\right)\right]}=0{,}11~\mathrm{mm} \, .
Lösung (Variante 2)
Der Beugungswinkel, unter dem die Minima zweiter Ordnung auftreten, ergibt sich aus den gegebenen Abständen:
\tan\alpha = \frac{x}{2l}
beziehungsweise
\alpha = \arctan\left( \frac{x}{2l} \right) \, .
Bei der Beugung am Einzelspalt gilt für die Lage der Minima:
d\sin\alpha_\mathrm{min} = m\lambda \, .
Mit m=2 (Minima zweiter Ordnung) folgt für die Spaltbreite:
d = \frac{2\lambda}{\sin\alpha} = \frac{2\lambda}{\sin\left[\arctan\left(\frac{x}{2l}\right)\right]} = 88{,}7~\mathrm{\mu m} \, .