Dynamik mit Modellbahnwagen
Aufgabenstellung
Auf einer geradlinigen, horizontalen Modellbahnschiene stehen zwei identische Güterwagen. Außerdem befindet sich in der Mitte der Schiene eine Halterung mit einer gespannten Feder. Die beiden Wagen liegen links und rechts an dieser Feder an, sodass sie nach deren Freigabe auseinandergedrückt werden. Die Feder selbst ist in der Halterung nicht fixiert, sondern wird lediglich für eine Bewegung parallel zum Gleis geführt. Die Bewegungsstrecke der beiden Wagen wird jeweils durch einen Prellbock festgelegt, der auf dem Gleis fixiert ist.
Die Leermasse beider Wagen beträgt m_\mathrm W =63~\mathrm g. Wagen 2 besitzt zudem eine Beladung unbekannter Masse. Die Prellböcke wurden so eingestellt, dass beide Wagen nach Entspannung der Feder das Bahnende gleichzeitig nach t=0{,}87~\mathrm s erreichen. Die Bewegungsstrecken der beiden Wagen betragen dabei s_1 = 43~\mathrm{cm} und s_2 = 27~\mathrm{cm}.
Reibungseffekte können vernachlässigt werden. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass die Dehnung der Feder sehr klein im Vergleich zu den Bewegungsstrecken ist. Die gesamte Bewegung kann daher als gleichförmig angenommen werden (Vernachlässigung der Beschleunigungsstrecke).
- Welche Masse hat die Beladung des zweiten Wagens?
- Am Prellbock des Wagens 1 wurde beim Aufprall eine durchschnittliche Kraft von F= 420~\mathrm{mN} gemessen. Wie lang dauerte dieser Aufprall, bei dem der Wagen zum Stillstand kam?
Lösung Teil 1
Da Reibungseffekte vernachlässigt werden können und die Feder nicht fixiert ist, bilden die beiden Modellbahnwagen ein abgeschlossenes System, für das die Impulserhaltung gilt:
\vec p_\mathrm{ges} = \vec p_\mathrm{ges}' \, ,
wobei gestrichene Größen für den Endzustand (nach Entspannung der Feder) und solche ohne Strich für den Ausgangszustand stehen. Vor Entspannung der Feder gilt
\vec p_\mathrm{ges} = \vec p_1 + \vec p_2 = 0 \, ,
da beide Wagen in Ruhe sind. Entsprechend muss auch nach Enstpannung der Feder der Gesamtimpuls Null sein:
\vec p_\mathrm{ges}' = \vec p_1' + \vec p_2' = 0 \, .
Daraus folgt
\begin{aligned} \vec p_1' & = -\vec p_2' \qquad\textrm{bzw.} \\ |\vec p_1'| & = |\vec p_2'| \, . \end{aligned}
Wagen 1 hat den Impuls
p_1' = m_\mathrm W v_1' = m_\mathrm W \frac{s_1}{t} \, .
Der Impuls des Wagens 2 beträgt
p_2' = (m_\mathrm W + m_\mathrm L) v_2' = (m_\mathrm W + m_\mathrm L) \frac{s_2}{t} \, ,
mit der gesuchten Masse m_\mathrm L der Zuladung.
Aus der Impulserhaltung folgt für die gesuchte Masse:
\begin{aligned} p_1' & = p_2' \\ m_\mathrm W\frac{s_1}{t} & = (m_\mathrm W + m_\mathrm L) \frac{s_2}{t} \\ m_\mathrm L & = m_\mathrm W \frac{s_1}{s_2} - m_\mathrm W \\ m_\mathrm L & = m_\mathrm W \left( \frac{s_1}{s_2} -1 \right ) \\ m_\mathrm L & = 37~\mathrm g \, . \end{aligned}
Lösung Teil 2
Da der Wagen zum Stillstand kam, änderte sich sein Impuls um
|\Delta \vec p| = p_1' = m_\mathrm{W}\frac{s_1}{t_\mathrm L} \, ,
wobei für die in der Aufgabenstellung gegebene Laufzeit der Wagen hier zur besseren Unterscheidung die Bezeichnung t_\mathrm L genutzt wurde. Diese Impulsänderung ist gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom gleich dem auf den Wagen ausgeübten Kraftstoß. Bei konstanter Kraft (was durch den gegebenen Durchschnittswert der Kraft erfüllt ist) gilt:
\Delta p = \int_{t_1}^{t_2} F\mathrm dt = F\cdot t_\mathrm s \, ,
wobei t_\mathrm s die gesuchte Dauer des Stoßes bezeichnet. Damit ergibt sich:
\begin{aligned} Ft_\mathrm S & = m_\mathrm W \frac{s_1}{t_\mathrm L} \\ t_\mathrm s & = \frac{m_\mathrm W s_1}{F\cdot t_\mathrm L} \\ t_\mathrm s & = 74~\mathrm{ms} \, . \end{aligned}