Differentialrechnung
Ziel der Differentialrechnung ist die Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion. Die Ableitung der Funktion f(x) ist definiert als
\left .\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right |_{x=x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
und gibt den Anstieg der Funktion im Punkt x_0 an. Funktionen können von beliebigen Größen abhängen und entsprechend nach jeder dieser Größen abgeleitet werden. In der Physik treten besonders häufig Ableitungen nach einer Ortskoordinate x sowie nach der Zeit t auf. Für diese haben sich die folgenden Kurzschreibweisen etabliert:
\frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} = f'(x) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(x)}{\mathrm d x^2} = f''(x) \frac{\mathrm d f(t)}{\mathrm d t} = \dot f(t) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(t)}{\mathrm d t^2} = \ddot f(t)
Aufgabe 1: Ableitungsregeln
Vervollständigen Sie die folgenden Ableitungsregeln:
- Ableitung mit konstanten Faktoren: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( c\cdot f(x) \right) =
- Ableitung von Summen und Differenzen: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \pm g(x) \right) =
- Produktregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \cdot g(x) \right) =
- Quotientenregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) =
- Kettenregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(g(x)) \right) =
Aufgabe 2: Spezielle Ableitungen
Ergänzen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) =
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) =
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) =
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) =
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) =
Lösung 1: Ableitungsregeln
Ableitung mit konstanten Faktoren: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( c\cdot f(x) \right) = c\cdot f'(x)
Ableitung von Summen und Differenzen: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \pm g(x) \right) = f'(x) \pm g'(x)
Produktregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \cdot g(x) \right) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
Quotientenregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\left( g(x)\right)^2}
Kettenregel: \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(g(x)) \right) = \frac{\mathrm df(g)}{\mathrm dg}\cdot g'(x)
Lösung 2: Spezielle Ableitungen
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = 0 \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) = 0
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = n\cdot x^{n-1} \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) = n(n-1)\cdot x^{n-2}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \cos x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) = -\sin x
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = e^x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) = e^x
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \frac{1}{x}\qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) = -\frac{1}{x^2}