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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Differentialrechnung

Ziel der Differentialrechnung ist die Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion. Die Ableitung der Funktion f(x) ist definiert als

\left .\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right |_{x=x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

und gibt den Anstieg der Funktion im Punkt x_0 an. Funktionen können von beliebigen Größen abhängen und entsprechend nach jeder dieser Größen abgeleitet werden. In der Physik treten besonders häufig Ableitungen nach einer Ortskoordinate x sowie nach der Zeit t auf. Für diese haben sich die folgenden Kurzschreibweisen etabliert:

\frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} = f'(x) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(x)}{\mathrm d x^2} = f''(x) \frac{\mathrm d f(t)}{\mathrm d t} = \dot f(t) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(t)}{\mathrm d t^2} = \ddot f(t)

Aufgabe 1: Ableitungsregeln

Vervollständigen Sie die folgenden Ableitungsregeln:

Aufgabe 2: Spezielle Ableitungen

Ergänzen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) =

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) =

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) =

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) =

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) =

Lösung 1: Ableitungsregeln

Lösung 2: Spezielle Ableitungen

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = 0 \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) = 0

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = n\cdot x^{n-1} \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) = n(n-1)\cdot x^{n-2}

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \cos x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) = -\sin x

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = e^x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) = e^x

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \frac{1}{x}\qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) = -\frac{1}{x^2}