Aufgabensammlung Experimentalphysik

Differentialrechnung

Ziel der Differentialrechnung ist die Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion. Die Ableitung der Funktion $f(x)$ ist definiert als

$\left .\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right |_{x=x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

und gibt den Anstieg der Funktion im Punkt $x_0$ an. Funktionen können von beliebigen Größen abhängen und entsprechend nach jeder dieser Größen abgeleitet werden. In der Physik treten besonders häufig Ableitungen nach einer Ortskoordinate $x$ sowie nach der Zeit $t$ auf. Für diese haben sich die folgenden Kurzschreibweisen etabliert:

$\frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} = f'(x) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(x)}{\mathrm d x^2} = f''(x)$ $\frac{\mathrm d f(t)}{\mathrm d t} = \dot f(t) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(t)}{\mathrm d t^2} = \ddot f(t)$

Aufgabe 1: Ableitungsregeln

Vervollständigen Sie die folgenden Ableitungsregeln:

• Ableitung mit konstanten Faktoren: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( c\cdot f(x) \right) =$
• Ableitung von Summen und Differenzen: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \pm g(x) \right) =$
• Produktregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \cdot g(x) \right) =$
• Quotientenregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) =$
• Kettenregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(g(x)) \right) =$

Aufgabe 2: Spezielle Ableitungen

Ergänzen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) =$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) =$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) =$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) =$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) =$

Lösung 1: Ableitungsregeln

• Ableitung mit konstanten Faktoren: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( c\cdot f(x) \right) = c\cdot f'(x)$

• Ableitung von Summen und Differenzen: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \pm g(x) \right) = f'(x) \pm g'(x)$

• Produktregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \cdot g(x) \right) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$

• Quotientenregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\left( g(x)\right)^2}$

• Kettenregel: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(g(x)) \right) = \frac{\mathrm df(g)}{\mathrm dg}\cdot g'(x)$

Lösung 2: Spezielle Ableitungen

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = 0 \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) = 0$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = n\cdot x^{n-1} \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) = n(n-1)\cdot x^{n-2}$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \cos x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) = -\sin x$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = e^x \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) = e^x$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \frac{1}{x}\qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) = -\frac{1}{x^2}$