Curlingsteine
Aufgabenstellung
Bei der Sportart Curling gleiten Spielsteine (in der Regel aus Naturstein) über eine Eisfläche. Ziel der Sportler ist, die eigenen Steine möglichst gut im Zielbereich (dem sogenannten Haus) zu platzieren. Hiefür werden Steine häufig so gespielt, dass sie mit ruhenden Steinen auf der Eisfläche kollidieren.
Betrachtet wird ein Stoß zwischen zwei Curlingsteinen: Stein 1 prallt mit einer Geschwindigkeit von v_1 = 2{,}31~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} zentral gegen den ruhenden Stein 2. Dieser zweite Stein wird dadurch in Bewegung versetzt und erhält die Geschwindigkeit v_2' = 2{,}07~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}. Die Bewegungsrichtung des zweiten Steins nach dem Stoß ist identisch mit der Richtung des ersten Steins vor dem Stoß. Beide Steine besitzen die identische Masse m = 18{,}4~\mathrm{kg}. Der Stoßvorgang wird als reibungsfrei betrachtet.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit v_1' der ersten Steins nach dem Stoß.
- Berechnen Sie den Betrag E_\mathrm{Diss} der Energie, der bei diesem Stoß durch dissipative Vorgänge verloren gegangen ist.
Lösung Teil 1
Da nicht bekannt ist, ob der Stoß elastisch verläuft (gemäß Teilaufgabe 2 müssen dissipative Prozesse zumindest in Betracht gezogen werden), kann der Energiesatz der Mechanik nicht angesetzt werden. Der Impulssatz gilt bei derartigen Stoßprozessen immer:
m v_1 + m v_2 = m v_1' + mv_2' \, .
Gestrichene Größen stehen dabei für den Zustand nach dem Stoß. Die Masse kann aus dieser Formel gekürzt werden. Außerdem gilt v_2 = 0. Damit folgt für die gesuchte Geschwindigkeit:
v_1' = v_1 - v_2' = 0{,}24~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .
Lösung Teil 2
Die dissipierte Energie ergibt sich als Differenz der kinetischen Energien der Zustände vor und nach dem Stoß:
\begin{aligned} E_\mathrm{Diss} & = E - E' \\ & = \frac{m}{2}v_1^2 - \left( \frac{m}{2} v_1'^2 + \frac{m}{2} v_2'^2 \right) \\ & = \frac{m}{2} \left( v_1^2 - v_1'^2 - v_2'^2 \right) \, . \end{aligned}
In diese Formel könnten bereits die gegebenen Größen und das Ergebnis aus Teilaufgabe 1 eingesetzt und die dissipierte Energie berechnet werden. Setzt man für v_1' hingegen die oben gefundene Formel ein, so lässt sich die Formel weiter umstellen (wobei einige Umformschritte als schlichte Rechnerei hier nicht dargestellt werden):
\begin{aligned} E_\mathrm{Diss} & = \frac{m}{2} \left( v_1^2 - \left( v_1 - v_2'\right)^2 - v_2'^2 \right) \\ & = \dots \\ & = mv_2' (v_1 - v_2') \\ & = 9{,}14~\mathrm J \, . \end{aligned}
Neben dem Ergebniswert zeigt die so gefundene Formel auch die Bedingung für einen elastischen Stoß an: Die dissipierte Energie ist Null, wenn v_2' = v_1 gilt. Der zweite Stein bewegt sich mit der ursprünglichen Geschwindigkeit des ersten Steins weiter, während letzterer zur Ruhe kommt.