Bewegungsdiagramme
Aufgabenstellung
Ein Personenzug nähert sich seinem Endbahnhof. Auf der freien Strecke vor dem Bahnhof gilt eine Höchstgeschwindigkeit von v_\mathrm{strecke} = 120~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}. Im Bahnhofsbereich darf der Zug nicht schneller als v_\mathrm{bhf} = 40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} fahren. Die nachfolgenden Teilaufgaben enthalten jeweils eine andere Darstellung des Bewegungsablaufs dieses Zugs, jeweils beginnend auf der freien Strecke bis in den Bahnhof.
Hinweis: In jeder Teilaufgabe lassen sich die Fragen allein anhand des zugehörigen Diagramms beantworten, auch wenn manche Aspekte in einer anderen Darstellung offensichtlicher sein mögen.
Teil 1: Ort-Zeit-Diagramm
Das folgende Diagramm zeigt des Ort-Zeit-Diagramm s(t) des Zugs:
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf das oben dargestellte Diagramm. Beurteilen Sie deren Richtigkeit.
| Aussage | Richtig | Falsch |
|---|---|---|
| Das Diagramm enthält genau zwei Abschnitte mit gleichförmiger Bewegung. | ||
| Am Ende des dargestellten Intervalls hat der Zug angehalten. | ||
| Seine größte Geschwindigkeit hat der Zug in den ersten Sekunden des dargestellten Intervalls | ||
| Zu keinem Zeitpunkt nimmt die Geschwindigkeit des Zugs zu. | ||
| In der Mitte des dargestellten Zeitintervalls hat der Zug genau die Hälfte seines Gesamtwegs zurückgelegt. | ||
| Zu irgendeinem Zeitpunkt entsprach die Momentangeschwindigkeit des Zugs genau der Durchschnittsgeschwindigkeit für das gesamte dargestellte Intervall. |
Teil 2: Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Das folgende Diagramm zeigt des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm v(t) des Zugs:
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf das oben dargestellte Diagramm. Beurteilen Sie deren Richtigkeit.
| Aussage | Richtig | Falsch |
|---|---|---|
| Im ersten Bremsvorgang (vor Erreichen des Bahnhofsbereichs) hatte die gewählte Verzögerung einen Betrag von 8000~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h^2}. (Hinweis: Dieser Bremsvorgang dauerte exakt t = 36~\mathrm s.) | ||
| Beide Bremsvorgänge erfolgen mit derselben Verzögerung. | ||
| Beide Bremsvorgänge dauerten gleich lang. | ||
| Zu Beginn der beiden Bremsvorgänge wechselt die Beschleunigung sprunghaft auf ihren Maximalwert. | ||
| Die Beschleunigung ist zu keinem Zeitpunkt größer als Null. | ||
| Beide Bremsvorgänge entsprechen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. |
Teil 3: Geschwindigkeit-Ort-Diagramm
Das folgende Diagramm zeigt des Geschwindigkeit-Ort-Diagramm v(s) des Zugs:
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf das oben dargestellte Diagramm. Beurteilen Sie deren Richtigkeit.
| Aussage | Richtig | Falsch |
|---|---|---|
| Der Zug legte insgesamt mehr als einen halben Kilomter Strecke in gleichförmiger Bewegung zurück. | ||
| Das Diagramm enthält zwei Zeitabschnitte, in denen der Zug im Stillstand war. | ||
| Die dargestellten Bremsvorgänge können nicht mit konstanter Beschleunigung (Verzögerung) erfolgt sein, da die zugehörigen Kurvenabschnitte gekrümmt sind. | ||
| Die Strecke, die der Zug mit 40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} zurückgelegt hat, ist größer als die, die er mit 120~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} zurückgelegt hat. | ||
| Die Fläche unter der Kurve ist ein Maß für die Beschleunigung. | ||
| Aus dem Diagramm lässt sich nicht unmittelbar ablesen, wieviel Zeit die einzelnen Bewegungsabschnitte in Anspruch genommen haben. |
Lösung Teilaufgabe 1
- Das Diagramm enthält genau zwei Abschnitte mit gleichförmiger Bewegung.
- Richtig: Bei gleichförmiger Bewegung ist die Ort-Zeit-Kurve eine Gerade. Dies ist im Diagramm in den ersten 10 Sekunden sowie im Zeitintervall zwischen t\approx 50~\mathrm s und t\approx 90~\mathrm s der Fall
- Am Ende des dargestellten Intervalls hat der Zug angehalten.
- Richtig: Am rechten Rand des Diagramms erreicht die Ort-Zeit-Kurve einen horizontalen Verlauf.
- Seine größte Geschwindigkeit hat der Zug in den ersten Sekunden des dargestellten Intervalls
- Richtig: In den ersten 10 Sekunden ist der Anstieg der Ort-Zeit-Kurve am größten.
- Zu keinem Zeitpunkt nimmt die Geschwindigkeit des Zugs zu.
- Richtig: An keiner Stelle im Diagramm nimmt der Anstieg der Ort-Zeit-Kurve zu.
- In der Mitte des dargestellten Zeitintervalls hat der Zug genau die Hälfte seines Gesamtwegs zurückgelegt.
- Falsch: Die Mitte des Zeitintervalls liegt bei t\approx 60~\mathrm s. Zu diesem Zeitpunkt hat der Zug bereits mehr als 1250~\mathrm m zurückgelegt, was deutlich mehr als die Hälfte der insgesamt \approx 1800~\mathrm m ist.
- Zu irgendeinem Zeitpunkt entsprach die Momentangeschwindigkeit des Zugs genau der Durchschnittsgeschwindigkeit für das gesamte dargestellte Intervall.
- Richtig: Dies ist eine mathematische Notwendigkeit für eine stetige Funktion. Die Durchschnittsgeschwindigkeit hat einen Wert zwischen Maximalgeschwindigkeit (zu Beginn des Intervalls) und Null (am Ende des Intervalls). Beim kontinuierlichen Abbremsen wird auch dieser Wert der Geschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt erreicht.
Lösung Teilaufgabe 2
- Im ersten Bremsvorgang (vor Erreichen des Bahnhofsbereichs) hatte die gewählte Verzögerung einen Betrag von 8000~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h^2}. (Hinweis: Dieser Bremsvorgang dauerte exakt t = 36~\mathrm s.)
- Richtig: Innerhalb von \Delta t = 36~\mathrm s = 0{,}01~\mathrm h verringerte sich die Geschwindigkeit um \Delta v = 80~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}.
- Beide Bremsvorgänge erfolgen mit derselben Verzögerung.
- Falsch: Die Anstiege der Geschwindigkeit-Zeit-Kurve für die beiden Bremsvorgänge sind unterschiedlich.
- Beide Bremsvorgänge dauerten gleich lang.
- Falsch: Die Dauer der Bremsvorgänge kann an der horizontalen Achse abgelesen werden.
- Zu Beginn der beiden Bremsvorgänge wechselt die Beschleunigung sprunghaft auf ihren Maximalwert.
- Richtig: So entsteht jeweils der scharfe „Knick“ im Geschwindigkeitsverlauf.
- Die Beschleunigung ist zu keinem Zeitpunkt größer als Null.
- Richtig: Die Geschwindigkeit bleibt entweder konstant (a=0) oder nimmt ab (a<0).
- Beide Bremsvorgänge entsprechen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
- Richtig: Dies ist erkennbar am linearen Verlauf der Geschwindigkeit.
Lösung Teilaufgabe 3
- Der Zug legte insgesamt mehr als einen halben Kilomter Strecke in gleichförmiger Bewegung zurück.
- Richtig: Gleichförmige Bewegung entspricht den horizontalen Abschnitten der Geschwindigkeit-Ort-Kurve. Die zurückgelegte Strecke kann als Länge dieser Abschnitte auf der horizontalen Achse abgelesen werden.
- Das Diagramm enthält zwei Zeitabschnitte, in denen der Zug im Stillstand war.
- Falsch: Erst am Ende der Kurve kommt der Zug zum Stillstand. Die horizontalen Abschnitte im Kurvenverlauf entsprechen einer gleichförmigen Bewegung.
- Die dargestellten Bremsvorgänge können nicht mit konstanter Beschleunigung (Verzögerung) erfolgt sein, da die zugehörigen Kurvenabschnitte gekrümmt sind.
- Falsch: Eine konstante Beschleunigung führt zwar im v(t)-Diagramm zu einem linearen Verlauf, nicht jedoch im v(s)-Diagramm, da die in gleichen Zeitabschnitten zurückgelegten Strecken abnehmen (mit abnehmender Geschwindigkeit). Ein nichtlinearer Geschwindigkeitsverlauf in diesem Diagramm kann daher nicht als Beweis einer ungleichmäßigen Beschleunigung dienen. Tatsächlich wurde die Kurve im Diagramm für konstante Beschleunigungen während der Bremsphasen erstellt.
- Die Strecke, die der Zug mit 40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} zurückgelegt hat, ist größer als die, die er mit 120~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} zurückgelegt hat.
- Richtig: Dies folgt aus der Vergleich der Längen der beiden horizontalen Kurvenabschnitte.
- Die Fläche unter der Kurve ist ein Maß für die Beschleunigung.
- Falsch: Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und kann in diesem Diagramm nicht unmittelbar abgelesen werden. Die Fläche unter Kurve müsste einer Größe der Art s\cdot v („Weg \times Geschwindigkeit“) entsprechen, die jedoch in der Regel keine Aussagekraft besitzt.
- Aus dem Diagramm lässt sich nicht unmittelbar ablesen, wieviel Zeit die einzelnen Bewegungsabschnitte in Anspruch genommen haben.
- Richtig: Das Diagramm zeigt keine Zeitabhängigkeit. Die dargestellte Ortsabhängigkeit müsste erst anhand der Geschwindigkeit umgerechnet werden.