Bewässerungsfahrzeug
Aufgabenstellung
Ein Bewässerungsfahrzeug ist mit einem Wasserbehälter ausgerüstet, aus dem pro Sekunde 5 Liter Wasser ausfließen. Der Behälter ist anfangs mit V_0 = 1{,}8~\mathrm m^3 Wasser gefüllt. Die Leermasse des Bewässerungsfahrzeugs beträgt m_\mathrm T = 2{,}9~\mathrm t. Das Fahrzeug sei mit einer Geschwindigkeit von v = 5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} auf einem Feld unterwegs. Der Rollreibungskoeffizient zwischen Rädern und Feldboden beträgt \mu_\mathrm R = 0{,}14. Welche mechanische Arbeit verrichtet das Fahrzeug bis zur vollständigen Entleerung des Wasserbehälters, wenn die Bewegung
- horizontal
- mit 5% Steigung
erfolgt?
Lösung Teil 1
Die mechanische Arbeit ist allgemein in der Form
\mathrm d W = \vec F \cdot \mathrm d\vec s
definiert. Da in diesem Fall von einer Kraftwirkung entlang der Bewegungsrichtung ausgegangen werden kann, wird im Folgenden auf das Skalarprodukt verzichtet. Ferner wird das Wegelement \mathrm d s = v\,\mathrm dt durch die gegebene Geschwindigkeit ausgedrückt:
\mathrm d W = Fv\mathrm dt \, .
Bei horizontaler Bewegung muss keine Hubarbeit verrichtet werden und es bleibt nur die Reibungskraft zu berücksichtigen:
F=F_\mathrm R = \mu_\mathrm R F_\mathrm N = \mu_\mathrm R mg \, .
Aufgrund der horizontalen Bewegung ist die Normalkraft in diesem Fall gleich der Gewichtskraft. Die Masse setzt sich zusammen aus der Leermasse des Fahrzeugs m_\mathrm F und der (zeitabhängigen) Masse des Wassers m_\mathrm W (t):
m = m_\mathrm F + m_\mathrm W (t) = m_\mathrm F + m_0 - q t \, ,
wobei q die zeitliche Änderung der Wassermasse angibt: q = 5~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}. Die Zeit sei dabei so gewählt, dass bei t=0 die Entleerung es Behälters beginnt. Die Anfangsmasse des Wasser beträgt m_0 = 1800~\mathrm{kg}. Für die Arbeit folgt daraus:
\mathrm d W = \mu_\mathrm R vg \left( m_\mathrm F + m_0 - qt \right) \, .
Zur Bestimmung der gesamten verrichteten Arbeit muss dieser Ausdruck über das Zeitintervall \left[t=0, t_\mathrm e \right] integriert werden. Der Zeitpunkt t_\mathrm e der vollständigen Entleerung ergibt sich zu
t_\mathrm e = \frac{m_0}{q} = 360~\mathrm s \, .
Damit ergibt sich für die Arbeit:
\begin{aligned} W & =\mu_\mathrm R vg\int\limits_{t=0}^{t_\mathrm e} \left( m_\mathrm F + m_0 -qt\right)\mathrm dt \\ & = \mu_\mathrm R vg\left( \left( m_\mathrm F + m_0 \right) t_\mathrm e - \frac{q}{2} t_\mathrm e^2 \right) \\ & = 9{,}4~\mathrm{MJ} \end{aligned}
Lösung Teil 2
Auch bei der Bewegung auf einer ansteigenden Strecke gilt für die mechanische Arbeit:
\mathrm d W = Fv\mathrm dt \, .
Für die Kraft sind nun jedoch zwei Beitäge zu berücksichtigen:
Die Reibungskraft
F_\mathrm R = \mu_\mathrm R F_\mathrm N = \mu_\mathrm R mg\cos\alpha
Die Hangabtriebskraft
F_\mathrm H = mg\sin\alpha
Die Gesamtkraft ist demzufolge:
F=F_\mathrm R + F_\mathrm H = mg\left( \mu_\mathrm R \cos \alpha + \sin\alpha \right) \, .
Zwischen der in Prozent angegebenen Steigung S und dem Steigungswinkel \alpha gilt der Zusammenhang:
S=\tan\alpha \quad\mathrm{bzw.} \quad \alpha = \arctan S \, .
Eingesetzt in die Formel für die mechanische Arbeit folgt:
\mathrm dW = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) m \mathrm dt \, .
Der in Teilaufgabe 1 betrachtete Fall der horizontalen Bewegung folgt als Sonderfall aus dieser Formel mit S=0. Für die zeitlich veränderliche Masse bleibt der Ausdruck aus der ersten Teilaufgabe unverändert:
m = m_\mathrm F + m_0 - q t \, .
Zur Bestimmung der gesamten mechanischen Arbeit muss wiederum über das Zeitintervall \left[t=0, t_\mathrm e \right] integriert werden:
W = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) \int\limits_{t=0}^{t_\mathrm e} \left( m_\mathrm F + m_0 -qt\right)\mathrm dt \, .
Der Ausdruck im Integral hat sich gegenüber der ersten Teilaufgabe nicht verändert und es folgt:
\begin{aligned} W & = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) \left( \left( m_\mathrm F + m_0 \right) t_\mathrm e - \frac{q}{2} t_\mathrm e^2 \right) \\ & = 12{,}7~\mathrm{MJ} \, . \end{aligned}