Aufgabensammlung Experimentalphysik

Bewässerungsfahrzeug

Aufgabenstellung

Ein Bewässerungsfahrzeug ist mit einem Wasserbehälter ausgerüstet, aus dem pro Sekunde 5 Liter Wasser ausfließen. Der Behälter ist anfangs mit $V_0 = 1{,}8~\mathrm m^3$ Wasser gefüllt. Die Leermasse des Bewässerungsfahrzeugs beträgt $m_\mathrm T = 2{,}9~\mathrm t$. Das Fahrzeug sei mit einer Geschwindigkeit von $v = 5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ auf einem Feld unterwegs. Der Rollreibungskoeffizient zwischen Rädern und Feldboden beträgt $\mu_\mathrm R = 0{,}14$. Welche mechanische Arbeit verrichtet das Fahrzeug bis zur vollständigen Entleerung des Wasserbehälters, wenn die Bewegung

1. horizontal
2. mit 5% Steigung

erfolgt?

Lösung Teil 1

Die mechanische Arbeit ist allgemein in der Form

$\mathrm d W = \vec F \cdot \mathrm d\vec s$

definiert. Da in diesem Fall von einer Kraftwirkung entlang der Bewegungsrichtung ausgegangen werden kann, wird im Folgenden auf das Skalarprodukt verzichtet. Ferner wird das Wegelement $\mathrm d s = v\,\mathrm dt$ durch die gegebene Geschwindigkeit ausgedrückt:

$\mathrm d W = Fv\mathrm dt \, .$

Bei horizontaler Bewegung muss keine Hubarbeit verrichtet werden und es bleibt nur die Reibungskraft zu berücksichtigen:

$F=F_\mathrm R = \mu_\mathrm R F_\mathrm N = \mu_\mathrm R mg \, .$

Aufgrund der horizontalen Bewegung ist die Normalkraft in diesem Fall gleich der Gewichtskraft. Die Masse setzt sich zusammen aus der Leermasse des Fahrzeugs $m_\mathrm F$ und der (zeitabhängigen) Masse des Wassers $m_\mathrm W (t)$:

$m = m_\mathrm F + m_\mathrm W (t) = m_\mathrm F + m_0 - q t \, ,$

wobei $q$ die zeitliche Änderung der Wassermasse angibt: $q = 5~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}$. Die Zeit sei dabei so gewählt, dass bei $t=0$ die Entleerung es Behälters beginnt. Die Anfangsmasse des Wasser beträgt $m_0 = 1800~\mathrm{kg}$. Für die Arbeit folgt daraus:

$\mathrm d W = \mu_\mathrm R vg \left( m_\mathrm F + m_0 - qt \right) \, .$

Zur Bestimmung der gesamten verrichteten Arbeit muss dieser Ausdruck über das Zeitintervall $\left[t=0, t_\mathrm e \right]$ integriert werden. Der Zeitpunkt $t_\mathrm e$ der vollständigen Entleerung ergibt sich zu

$t_\mathrm e = \frac{m_0}{q} = 360~\mathrm s \, .$

Damit ergibt sich für die Arbeit:

$\begin{aligned} W & =\mu_\mathrm R vg\int\limits_{t=0}^{t_\mathrm e} \left( m_\mathrm F + m_0 -qt\right)\mathrm dt \\ & = \mu_\mathrm R vg\left( \left( m_\mathrm F + m_0 \right) t_\mathrm e - \frac{q}{2} t_\mathrm e^2 \right) \\ & = 9{,}4~\mathrm{MJ} \end{aligned}$

Lösung Teil 2

Auch bei der Bewegung auf einer ansteigenden Strecke gilt für die mechanische Arbeit:

$\mathrm d W = Fv\mathrm dt \, .$

Für die Kraft sind nun jedoch zwei Beitäge zu berücksichtigen:

1. Die Reibungskraft

   $F_\mathrm R = \mu_\mathrm R F_\mathrm N = \mu_\mathrm R mg\cos\alpha$

2. Die Hangabtriebskraft

   $F_\mathrm H = mg\sin\alpha$

Die Gesamtkraft ist demzufolge:

$F=F_\mathrm R + F_\mathrm H = mg\left( \mu_\mathrm R \cos \alpha + \sin\alpha \right) \, .$

Zwischen der in Prozent angegebenen Steigung $S$ und dem Steigungswinkel $\alpha$ gilt der Zusammenhang:

$S=\tan\alpha \quad\mathrm{bzw.} \quad \alpha = \arctan S \, .$

Eingesetzt in die Formel für die mechanische Arbeit folgt:

$\mathrm dW = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) m \mathrm dt \, .$

Der in Teilaufgabe 1 betrachtete Fall der horizontalen Bewegung folgt als Sonderfall aus dieser Formel mit $S=0$. Für die zeitlich veränderliche Masse bleibt der Ausdruck aus der ersten Teilaufgabe unverändert:

$m = m_\mathrm F + m_0 - q t \, .$

Zur Bestimmung der gesamten mechanischen Arbeit muss wiederum über das Zeitintervall $\left[t=0, t_\mathrm e \right]$ integriert werden:

$W = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) \int\limits_{t=0}^{t_\mathrm e} \left( m_\mathrm F + m_0 -qt\right)\mathrm dt \, .$

Der Ausdruck im Integral hat sich gegenüber der ersten Teilaufgabe nicht verändert und es folgt:

$\begin{aligned} W & = vg\left( \mu_\mathrm R \cos\left( \arctan S \right) + \sin\left( \arctan S \right) \right) \left( \left( m_\mathrm F + m_0 \right) t_\mathrm e - \frac{q}{2} t_\mathrm e^2 \right) \\ & = 12{,}7~\mathrm{MJ} \, . \end{aligned}$