Ein Bewässerungsfahrzeug ist mit einem Wasserbehälter ausgerüstet, aus dem pro Sekunde 5 Liter Wasser ausfließen. Der Behälter ist anfangs mit V0=1,8m3 Wasser gefüllt. Die Leermasse des Bewässerungsfahrzeugs beträgt mT=2,9t. Das Fahrzeug sei mit einer Geschwindigkeit von v=5sm auf einem Feld unterwegs. Der Rollreibungskoeffizient zwischen Rädern und Feldboden beträgt μR=0,14. Welche mechanische Arbeit verrichtet das Fahrzeug bis zur vollständigen Entleerung des Wasserbehälters, wenn die Bewegung
horizontal
mit 5% Steigung
erfolgt?
Lösung Teil 1
Die mechanische Arbeit ist allgemein in der Form
dW=F⋅ds
definiert. Da in diesem Fall von einer Kraftwirkung entlang der Bewegungsrichtung ausgegangen werden kann, wird im Folgenden auf das Skalarprodukt verzichtet. Ferner wird das Wegelement ds=vdt durch die gegebene Geschwindigkeit ausgedrückt:
dW=Fvdt.
Bei horizontaler Bewegung muss keine Hubarbeit verrichtet werden und es bleibt nur die Reibungskraft zu berücksichtigen:
F=FR=μRFN=μRmg.
Aufgrund der horizontalen Bewegung ist die Normalkraft in diesem Fall gleich der Gewichtskraft. Die Masse setzt sich zusammen aus der Leermasse des Fahrzeugs mF und der (zeitabhängigen) Masse des Wassers mW(t):
m=mF+mW(t)=mF+m0−qt,
wobei q die zeitliche Änderung der Wassermasse angibt: q=5skg. Die Zeit sei dabei so gewählt, dass bei t=0 die Entleerung es Behälters beginnt. Die Anfangsmasse des Wasser beträgt m0=1800kg. Für die Arbeit folgt daraus:
dW=μRvg(mF+m0−qt).
Zur Bestimmung der gesamten verrichteten Arbeit muss dieser Ausdruck über das Zeitintervall [t=0,te] integriert werden. Der Zeitpunkt te der vollständigen Entleerung ergibt sich zu
Auch bei der Bewegung auf einer ansteigenden Strecke gilt für die mechanische Arbeit:
dW=Fvdt.
Für die Kraft sind nun jedoch zwei Beitäge zu berücksichtigen:
Die Reibungskraft
FR=μRFN=μRmgcosα
Die Hangabtriebskraft
FH=mgsinα
Die Gesamtkraft ist demzufolge:
F=FR+FH=mg(μRcosα+sinα).
Zwischen der in Prozent angegebenen Steigung S und dem Steigungswinkel α gilt der Zusammenhang:
S=tanαbzw.α=arctanS.
Eingesetzt in die Formel für die mechanische Arbeit folgt:
dW=vg(μRcos(arctanS)+sin(arctanS))mdt.
Der in Teilaufgabe 1 betrachtete Fall der horizontalen Bewegung folgt als Sonderfall aus dieser Formel mit S=0. Für die zeitlich veränderliche Masse bleibt der Ausdruck aus der ersten Teilaufgabe unverändert:
m=mF+m0−qt.
Zur Bestimmung der gesamten mechanischen Arbeit muss wiederum über das Zeitintervall [t=0,te] integriert werden: