Aufgabensammlung Experimentalphysik

Beamer-Objektiv

Diese Aufgabe liegt in zwei Varianten vor, die denselben physikalischen Hintergrund besitzen, jedoch unterschiedliche Fragestellungen aufweisen. Die zur Lösung benutzten Formeln sind für beide Varianten gleich, werden jedoch – entsprechend der Fragestellungen – unterschiedlich umgestellt.

Aufgabenstellung (Variante I)

Das Objektiv eines Beamers hat die Brennweite $f=100~\mathrm{mm}$. Der Chip, der das zu projizierende Bild im Inneren des Beamers erzeugt hat eine Breite von $G=30~\mathrm{mm}$. In welcher Entfernung vom Objektiv (das als dünne Linse behandelt wird) muss eine $3~\mathrm m$ breite Leinwand aufgestellt werden, damit das entstehende Bild diese gerade ausfüllt?

Lösung

Die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse lautet

$\frac 1f = \frac 1b + \frac 1g \, .$

Weiterhin ist der Abbildungsmaßstab definiert:

$\left | V \right | = \frac{\left | B \right |}{G}=\frac{b}{g} \, .$

Die Bildgröße ist negativ (kopfstehendes / seitenverkehrtes Bild). Damit ist auch $V$ negativ. Wir rechnen hier nur mit Beträgen und schreiben kurz:

$V= \frac BG =\frac bg \, .$

Dies wird nach $g$ umgestellt:

$g=\frac GB \cdot b$

und in die Abbildungsgleichung eingesetzt:

$\frac 1f = \frac 1b + \frac BG \cdot \frac 1b = \left( 1+ \frac BG\right)\frac 1b \, .$

Daraus ergibt sich für die Bildweite:

$b=\left(1+\frac BG\right) f = \left(1+\frac{3000~\mathrm{mm}}{30~\mathrm{mm}}\right) \cdot 100~\mathrm{mm}=10{,}1~\mathrm m \, .$

Aufgabenstellung (Variante II)

Ein Beamer mit Zoom-Objektiv erzeugt auf einer $b=7~\mathrm m$ entfernten Leinwand ein $2{,}8~\mathrm m$ breites Bild. Der Chip, der das zu projizierende Bild im Inneren des Beamers erzeugt, hat eine Breite von $G=30~\mathrm{mm}$. Auf welche Brennweite ist dabei das Objektiv (das als dünne Linse behandelt wird) eingestellt?

Lösung

Die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse lautet:

$\frac 1f = \frac 1b + \frac 1g \, .$

Weiterhin ist der Abbildungsmaßstab definiert:

$\left | V \right | = \frac{\left | B \right |}{G} =\frac bg \, .$

Die Bildgröße ist negativ (kopfstehendes / seitenverkehrtes Bild). Damit ist auch $V$ negativ. Wir rechnen hier nur mit Beträgen und schreiben kurz:

$V=\frac BG = \frac bg \, .$

Dies wird nach $g$ umgestellt:

$g=\frac GB\cdot b$

und in die Abbildungsgleichugn eingesetzt:

$\frac 1f = \frac 1b + \frac BG \cdot\frac 1b = \left( 1+ \frac BG\right)\frac 1b \, .$

Damit ergibt sich für die Brennweite des Objektivs:

$f=\frac{b}{1+\frac BG}=\frac{7000~\mathrm{mm}}{1+\frac{2800~\mathrm{mm}}{30~\mathrm{mm}}} = 74~\mathrm{mm} \, .$