Beamer-Objektiv
Diese Aufgabe liegt in zwei Varianten vor, die denselben physikalischen Hintergrund besitzen, jedoch unterschiedliche Fragestellungen aufweisen. Die zur Lösung benutzten Formeln sind für beide Varianten gleich, werden jedoch – entsprechend der Fragestellungen – unterschiedlich umgestellt.
Aufgabenstellung (Variante I)
Das Objektiv eines Beamers hat die Brennweite f=100~\mathrm{mm}. Der Chip, der das zu projizierende Bild im Inneren des Beamers erzeugt hat eine Breite von G=30~\mathrm{mm}. In welcher Entfernung vom Objektiv (das als dünne Linse behandelt wird) muss eine 3~\mathrm m breite Leinwand aufgestellt werden, damit das entstehende Bild diese gerade ausfüllt?
Lösung
Die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse lautet
\frac 1f = \frac 1b + \frac 1g \, .
Weiterhin ist der Abbildungsmaßstab definiert:
\left | V \right | = \frac{\left | B \right |}{G}=\frac{b}{g} \, .
Die Bildgröße ist negativ (kopfstehendes / seitenverkehrtes Bild). Damit ist auch V negativ. Wir rechnen hier nur mit Beträgen und schreiben kurz:
V= \frac BG =\frac bg \, .
Dies wird nach g umgestellt:
g=\frac GB \cdot b
und in die Abbildungsgleichung eingesetzt:
\frac 1f = \frac 1b + \frac BG \cdot \frac 1b = \left( 1+ \frac BG\right)\frac 1b \, .
Daraus ergibt sich für die Bildweite:
b=\left(1+\frac BG\right) f = \left(1+\frac{3000~\mathrm{mm}}{30~\mathrm{mm}}\right) \cdot 100~\mathrm{mm}=10{,}1~\mathrm m \, .
Aufgabenstellung (Variante II)
Ein Beamer mit Zoom-Objektiv erzeugt auf einer b=7~\mathrm m entfernten Leinwand ein 2{,}8~\mathrm m breites Bild. Der Chip, der das zu projizierende Bild im Inneren des Beamers erzeugt, hat eine Breite von G=30~\mathrm{mm}. Auf welche Brennweite ist dabei das Objektiv (das als dünne Linse behandelt wird) eingestellt?
Lösung
Die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse lautet:
\frac 1f = \frac 1b + \frac 1g \, .
Weiterhin ist der Abbildungsmaßstab definiert:
\left | V \right | = \frac{\left | B \right |}{G} =\frac bg \, .
Die Bildgröße ist negativ (kopfstehendes / seitenverkehrtes Bild). Damit ist auch V negativ. Wir rechnen hier nur mit Beträgen und schreiben kurz:
V=\frac BG = \frac bg \, .
Dies wird nach g umgestellt:
g=\frac GB\cdot b
und in die Abbildungsgleichugn eingesetzt:
\frac 1f = \frac 1b + \frac BG \cdot\frac 1b = \left( 1+ \frac BG\right)\frac 1b \, .
Damit ergibt sich für die Brennweite des Objektivs:
f=\frac{b}{1+\frac BG}=\frac{7000~\mathrm{mm}}{1+\frac{2800~\mathrm{mm}}{30~\mathrm{mm}}} = 74~\mathrm{mm} \, .