Balmerserie des Wasserstoffs
Aufgabenstellung
Die Balmer-Serie enthält die von Wasserstoffatomen emittierte elektromagnetische Strahlung, die auf Übergänge eines Elektrons von einem höheren Energieniveau in das Niveau E_2 hervorgerufen wird. Berechnen Sie die größte und zweitgrößte sowie die kleinstmögliche Wellenlänge dieser Serie.
Lösung
Für die Energieniveaus E_n im Wasserstoffatom gilt:
E_n = -hcR_\infty\cdot\frac {1}{n^2} \, .
Die Balmerserie enthält die Übergänge E_n \rightarrow E_2 für n>2. Die Energie des abgestrahlten Photons entspricht der Energiedifferenz der beteiligten Niveaus. Für die Balmerserie bedeutet das:
\begin{aligned} E_\mathrm{Ph} & = E_n - E_2\\ & = -\frac{hcR_\infty}{n^2} + \frac{hcR_\infty}{2^2} \\ & = hcR_\infty\left(\frac 14-\frac{1}{n^2}\right) \\ & = hcR_\infty\cdot \frac{n^2-4}{4n^2} \, . \end{aligned}
Weiterhin gilt der Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Wellenlänge:
E_\mathrm{Ph} = \frac{hc}{\lambda} \quad \longrightarrow \quad \lambda = \frac{hc}{E_\mathrm{Ph}} \, .
Durch Einsetzen der obigen Photonenenergie erhält man die allgemeine Gleichung für die Wellenlängen der Balmerserie:
\lambda_{n\rightarrow 2} = \frac{hc}{hcR_\infty}\cdot\frac{4n^2}{n^2-4} = \frac{4n^2}{R_\infty\left(n^2-4\right)} \,.
Die größte Wellenlänge dieser Serie entspricht dem Übergang mit der kleinsten Energiedifferenz, also n=3:
\lambda_{3\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 3^2}{R_\infty\left(3^2-4\right)} = 656~\mathrm{nm} \, .
Die nächstkürzere Wellenlänge entspricht n=4:
\lambda_{4\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 4^2}{R_\infty\left(4^2-4\right)} = 486~\mathrm{nm} \, .
Die kürzeste Wellenlänge entspricht dem Übergang E_\infty = 0 \rightarrow E_2 mit E_\mathrm{Ph} = \left|E_2\right|:
\lambda_{\infty\rightarrow 2} = \frac{hc}{\left|E_2\right|} = \frac{4}{R_\infty} = 365~\mathrm{nm} \, .