Aufgabensammlung Experimentalphysik

Balmerserie des Wasserstoffs

Aufgabenstellung

Die Balmer-Serie enthält die von Wasserstoffatomen emittierte elektromagnetische Strahlung, die auf Übergänge eines Elektrons von einem höheren Energieniveau in das Niveau $E_2$ hervorgerufen wird. Berechnen Sie die größte und zweitgrößte sowie die kleinstmögliche Wellenlänge dieser Serie.

Lösung

Für die Energieniveaus $E_n$ im Wasserstoffatom gilt:

$E_n = -hcR_\infty\cdot\frac {1}{n^2} \, .$

Die Balmerserie enthält die Übergänge $E_n \rightarrow E_2$ für $n>2$. Die Energie des abgestrahlten Photons entspricht der Energiedifferenz der beteiligten Niveaus. Für die Balmerserie bedeutet das:

$\begin{aligned} E_\mathrm{Ph} & = E_n - E_2\\ & = -\frac{hcR_\infty}{n^2} + \frac{hcR_\infty}{2^2} \\ & = hcR_\infty\left(\frac 14-\frac{1}{n^2}\right) \\ & = hcR_\infty\cdot \frac{n^2-4}{4n^2} \, . \end{aligned}$

Weiterhin gilt der Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Wellenlänge:

$E_\mathrm{Ph} = \frac{hc}{\lambda} \quad \longrightarrow \quad \lambda = \frac{hc}{E_\mathrm{Ph}} \, .$

Durch Einsetzen der obigen Photonenenergie erhält man die allgemeine Gleichung für die Wellenlängen der Balmerserie:

$\lambda_{n\rightarrow 2} = \frac{hc}{hcR_\infty}\cdot\frac{4n^2}{n^2-4} = \frac{4n^2}{R_\infty\left(n^2-4\right)} \,.$

Die größte Wellenlänge dieser Serie entspricht dem Übergang mit der kleinsten Energiedifferenz, also $n=3$:

$\lambda_{3\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 3^2}{R_\infty\left(3^2-4\right)} = 656~\mathrm{nm} \, .$

Die nächstkürzere Wellenlänge entspricht $n=4$:

$\lambda_{4\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 4^2}{R_\infty\left(4^2-4\right)} = 486~\mathrm{nm} \, .$

Die kürzeste Wellenlänge entspricht dem Übergang $E_\infty = 0 \rightarrow E_2$ mit $E_\mathrm{Ph} = \left|E_2\right|$:

$\lambda_{\infty\rightarrow 2} = \frac{hc}{\left|E_2\right|} = \frac{4}{R_\infty} = 365~\mathrm{nm} \, .$