Ballschleuder
Aufgabenstellung
Eine einfache Ballschleuder sei mit mit einer Feder der Federkonstante k=120~\frac{\mathrm N}{\mathrm m} ausgestattet. Beim Spannen wird diese Feder um d=20~\mathrm{cm} zusammengedrückt. Es wird damit ein Tennisball (Masse m_\mathrm B = 58~\mathrm g) unter einem Winkel von \alpha = 45° abgeschossen.
- Welche Geschwindigkeit v_0 hat der Ball nach dem Abwurf?
- Welche maximale Höhe erreicht der Ball auf seiner Flugbahn?
Lösung Teil 1
Beim Abschussvorgang wird die potenzielle Energie der gespannten Feder E_\mathrm F in kinetische Energie E_\mathrm{kin} des Balls umgewandelt:
\begin{aligned} E_\mathrm F & = E_\mathrm{kin} \\ \frac 12 kd^2 & = \frac 12 mv_0^2 \, . \end{aligned}
Für die Geschwindigkeit folgt daraus:
\begin{aligned} v_0^2 & = \frac{k}{m} d^2 \\ v_0 & = \sqrt\frac{k}{m} d \\ v_0 & = 9,1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \end{aligned}
Die (rein rechnerisch mögliche) negative Lösung v_0 \lt 0 wurde dabei übergangen, da sie physikalisch nicht sinnvoll ist.
Lösung Teil 2
Nach dem Abwurf bewegt sich der Ball aufwärts. Nur der Anteil der kinetischen Energie, der auf die vertikale Bewegung entfällt, wird dabei in potenzielle Energie umgewandelt. Da die Energie selbst keine vektorielle Größe ist, kann sie nicht unmittelbar in eine horizontale und vertikale Komponenten zerlegt werden. Stattdessen wird diese Zerlegung für die Geschwindigkeit vorgenommen. Die vertikale Komponente der Abschussgeschwindigkeit ist
v_\mathrm v = v_0 \sin\alpha = \sqrt\frac{k}{m}d\sin\alpha \, .
Damit ist die kinetische Energie
\begin{aligned} E_\mathrm{kin,v} & = \frac{m}{2}v_\mathrm v^2 \\ & = \frac{m}{2} \frac{k}{m} d^2 \sin^2\alpha \\ & = \frac12 kd^2 \sin^2\alpha \end{aligned}
verknüpft. Im höchsten Punkt der Flugbahn ist diese Energie vollständig in potenzielle Energie umgewandelt und es gilt
\frac12 k d^2 \sin^2\alpha = mgh_\mathrm{max} \, .
Für die Steighöhe folgt daraus
\begin{aligned} h_\mathrm{max} & = \frac{k d^2 \sin^2\alpha}{2mg}\\ & = 2{,}1~\mathrm m \, . \end{aligned}