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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Ballschleuder

Aufgabenstellung

Eine einfache Ballschleuder sei mit mit einer Feder der Federkonstante k=120 Nmk=120~\frac{\mathrm N}{\mathrm m} ausgestattet. Beim Spannen wird diese Feder um d=20 cmd=20~\mathrm{cm} zusammengedrückt. Es wird damit ein Tennisball (Masse mB=58 gm_\mathrm B = 58~\mathrm g) unter einem Winkel von α=45°\alpha = 45° abgeschossen.

  1. Welche Geschwindigkeit v0v_0 hat der Ball nach dem Abwurf?
  2. Welche maximale Höhe erreicht der Ball auf seiner Flugbahn?

Lösung Teil 1

Beim Abschussvorgang wird die potenzielle Energie der gespannten Feder EFE_\mathrm F in kinetische Energie EkinE_\mathrm{kin} des Balls umgewandelt:

EF=Ekin12kd2=12mv02 .\begin{aligned} E_\mathrm F & = E_\mathrm{kin} \\ \frac 12 kd^2 & = \frac 12 mv_0^2 \, . \end{aligned}

Für die Geschwindigkeit folgt daraus:

v02=kmd2v0=kmdv0=9,1 ms\begin{aligned} v_0^2 & = \frac{k}{m} d^2 \\ v_0 & = \sqrt\frac{k}{m} d \\ v_0 & = 9,1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \end{aligned}

Die (rein rechnerisch mögliche) negative Lösung v0<0v_0 \lt 0 wurde dabei übergangen, da sie physikalisch nicht sinnvoll ist.

Lösung Teil 2

Nach dem Abwurf bewegt sich der Ball aufwärts. Nur der Anteil der kinetischen Energie, der auf die vertikale Bewegung entfällt, wird dabei in potenzielle Energie umgewandelt. Da die Energie selbst keine vektorielle Größe ist, kann sie nicht unmittelbar in eine horizontale und vertikale Komponenten zerlegt werden. Stattdessen wird diese Zerlegung für die Geschwindigkeit vorgenommen. Die vertikale Komponente der Abschussgeschwindigkeit ist

vv=v0sin⁡α=kmdsin⁡α .v_\mathrm v = v_0 \sin\alpha = \sqrt\frac{k}{m}d\sin\alpha \, .

Damit ist die kinetische Energie

Ekin,v=m2vv2=m2kmd2sin⁡2α=12kd2sin⁡2α\begin{aligned} E_\mathrm{kin,v} & = \frac{m}{2}v_\mathrm v^2 \\ & = \frac{m}{2} \frac{k}{m} d^2 \sin^2\alpha \\ & = \frac12 kd^2 \sin^2\alpha \end{aligned}

verknüpft. Im höchsten Punkt der Flugbahn ist diese Energie vollständig in potenzielle Energie umgewandelt und es gilt

12kd2sin⁡2α=mghmax .\frac12 k d^2 \sin^2\alpha = mgh_\mathrm{max} \, .

Für die Steighöhe folgt daraus

hmax=kd2sin⁡2α2mg=2,1 m .\begin{aligned} h_\mathrm{max} & = \frac{k d^2 \sin^2\alpha}{2mg}\\ & = 2{,}1~\mathrm m \, . \end{aligned}