Aufgabensammlung Experimentalphysik

Ballistisches Pendel II

Aufgabenstellung

Ein ballistisches Pendel ist eine Vorrichtung zur Bestimmung der Geschwindigkeit von Geschossen. Dabei wird das Geschoss in einen pendelnd aufgehängten Kugelfangkasten abgefeuert und bleibt in diesem stecken. In einem konkreten Aufbau habe der Kugelfangkasten eine Masse von $m_\mathrm K = 575~\mathrm g$. Welchen Impuls und welche kinetische Energie besitzt dieser Fangkasten (einschließlich des darin stecken gebliebenen Geschosses) nachdem er von einem Projektil der Masse $m_\mathrm P = 1{,}73~\mathrm g$ mit einer Geschwindigkeit von $v_\mathrm P = 272~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ getroffen wurde?

Lösung

Das Eindringen des Projektils in den Kugelfangkasten stellt einen plastischen Stoß dar. Dabei gilt der Impulserhaltungssatz. Der Impuls des Fangkastens nach dem Stoß ist gleich dem Impuls des Projektils vor dem Stoß:

$$p_\mathrm K' = p_\mathrm{P} = m_\mathrm{P}v_\mathrm P = 0{,}471~\mathrm{Ns}$$

Da es sich um einen inelastischen Stoß handelt, kann die Energieerhaltung nicht angesetzt werden. Wenn der Zusammenhang $E_\mathrm{kin} = \frac{p^2}{2m}$ bekannt ist, kann dies direkt in der Form

$$E_\mathrm{kin,K}' = \frac{p_\mathrm P^2}{2(m_\mathrm K + m_\mathrm P)}$$

angesetzt werden. Andernfalls wird von der üblichen Definition der kinetischen Energie ausgegangen:

$$E_\mathrm{kin,K}' = \frac{m_\mathrm K + m_\mathrm P}{2}v_\mathrm K'^2 \, .$$

Die Geschwindigkeit des Fangkastens nach dem Stoß folgt aus der Impulserhaltung:

$$\begin{aligned} p_\mathrm K' & = p_\mathrm P \\ (m_\mathrm K + m_\mathrm P)v_\mathrm K' & = m_\mathrm P v_\mathrm P \\ v_\mathrm K' & = \frac{m_\mathrm P}{m_\mathrm K + m_\mathrm P}v_\mathrm P \, . \end{aligned}$$

Eingesetzt in die Formel für die kinetische Energie ergibt sich

$$\begin{aligned} E_\mathrm{kin,K}' & = \frac{m_\mathrm K + m_\mathrm P}{2}v_\mathrm K'^2 \\ & = \frac{m_\mathrm K + m_\mathrm P}{2} \cdot \frac{m_\mathrm P^2}{(m_\mathrm K + m_\mathrm P)^2} v_\mathrm P^2 \\ & = \frac{m_\mathrm P^2 v_\mathrm P^2}{2(m_\mathrm K + m_\mathrm P)} \\ & = 0{,}192~\mathrm J \, . \end{aligned}$$