Stoß zweier Bälle
Aufgabenstellung
Bei einer Spielshow soll eine Billardkugel (Masse m_\mathrm B = 170~\mathrm g) so mit Tischtennisbällen (Masse m_\mathrm T = 2{,}7~\mathrm g) beworfen werden, dass sie den Zielbereich des Spielfelds erreicht. Welche Geschwindigkeit erhält die anfangs ruhende Billardkugel, wenn sie von einem Tischtennisball mit der Geschwindigkeit v_\mathrm T = 5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} zentral und elastisch getroffen wird?
Lösung
Da die Billardkugel zentral getroffen wird, bewegt sie sich in der Richtung weiter, aus der der Tischtennisball kam. Der gesamte Vorgang kann daher eindimensional betrachtet werden.
Da der Stoß elastisch verläuft, kann der Energiesatz angewendet werden:
\begin{aligned} E_\mathrm{kin} & = E_\mathrm{kin}' \\ \frac{m_\mathrm T}{2}v_\mathrm T^2 &= \frac{m_\mathrm T}{2} {v_\mathrm T'}^2 + \frac{m_\mathrm B}{2} {v_\mathrm B'}^2 \, . \end{aligned}
Dabei kennzeichnen gestrichene Größen den Zustand nach dem Stoß, solche ohne Strich beziehen sich auf den Anfangszustand. Für die gesuchte Geschwindigkeit v_\mathrm B' folgt daraus:
{v_\mathrm B'}^2 = \frac{m_\mathrm T}{m_\mathrm B}\left( v_\mathrm T^2 - {v_\mathrm T'}^2 \right) \, .
In dieser Formel ist die Geschwindigkeit {v_\mathrm T'} unbekannt. Um sie zu eliminieren wird der Impulssatz aufgestellt:
\begin{aligned} p & = p' \\ m_\mathrm T v_\mathrm T & = m_\mathrm T v_\mathrm T' + m_\mathrm B v_\mathrm B' \, . \end{aligned}
Umgestellt ergibt sich
v_\mathrm T' = v_\mathrm T - \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} v_\mathrm B' \, .
Dies wird in die obige Formel für {v_\mathrm B'}^2 eingesetzt und anschließend vereinfacht:
\begin{aligned} {v_\mathrm B'}^2 & = \frac{m_\mathrm T}{m_\mathrm B}\left[v_\mathrm T^2 - \left( v_\mathrm T - \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} v_\mathrm B'\right)^2 \right] \\ {v_\mathrm B'}^2 & =2v_\mathrm T v_\mathrm B'- \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T}{v_\mathrm B'}^2 \\ {v_\mathrm B'}^2\left( 1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} \right) & = 2v_\mathrm T v_\mathrm B' \, . \end{aligned}
Unter der Voraussetzung v_\mathrm B' \neq 0, kann auf beiden Seiten durch v_\mathrm B' dividiert werden:
\begin{aligned} {v_\mathrm B'}\left( 1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} \right) & = 2v_\mathrm T \\ v_\mathrm B' & = \frac{2v_\mathrm T}{1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T}} \\ v_\mathrm B' & = 0{,}16~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, . \end{aligned}