Aufgabensammlung Experimentalphysik

Stoß zweier Bälle

Aufgabenstellung

Bei einer Spielshow soll eine Billardkugel (Masse $m_\mathrm B = 170~\mathrm g$) so mit Tischtennisbällen (Masse $m_\mathrm T = 2{,}7~\mathrm g$) beworfen werden, dass sie den Zielbereich des Spielfelds erreicht. Welche Geschwindigkeit erhält die anfangs ruhende Billardkugel, wenn sie von einem Tischtennisball mit der Geschwindigkeit $v_\mathrm T = 5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ zentral und elastisch getroffen wird?

Lösung

Da die Billardkugel zentral getroffen wird, bewegt sie sich in der Richtung weiter, aus der der Tischtennisball kam. Der gesamte Vorgang kann daher eindimensional betrachtet werden.

Da der Stoß elastisch verläuft, kann der Energiesatz angewendet werden:

$\begin{aligned} E_\mathrm{kin} & = E_\mathrm{kin}' \\ \frac{m_\mathrm T}{2}v_\mathrm T^2 &= \frac{m_\mathrm T}{2} {v_\mathrm T'}^2 + \frac{m_\mathrm B}{2} {v_\mathrm B'}^2 \, . \end{aligned}$

Dabei kennzeichnen gestrichene Größen den Zustand nach dem Stoß, solche ohne Strich beziehen sich auf den Anfangszustand. Für die gesuchte Geschwindigkeit $v_\mathrm B'$ folgt daraus:

${v_\mathrm B'}^2 = \frac{m_\mathrm T}{m_\mathrm B}\left( v_\mathrm T^2 - {v_\mathrm T'}^2 \right) \, .$

In dieser Formel ist die Geschwindigkeit ${v_\mathrm T'}$ unbekannt. Um sie zu eliminieren wird der Impulssatz aufgestellt:

$\begin{aligned} p & = p' \\ m_\mathrm T v_\mathrm T & = m_\mathrm T v_\mathrm T' + m_\mathrm B v_\mathrm B' \, . \end{aligned}$

Umgestellt ergibt sich

$v_\mathrm T' = v_\mathrm T - \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} v_\mathrm B' \, .$

Dies wird in die obige Formel für ${v_\mathrm B'}^2$ eingesetzt und anschließend vereinfacht:

$\begin{aligned} {v_\mathrm B'}^2 & = \frac{m_\mathrm T}{m_\mathrm B}\left[v_\mathrm T^2 - \left( v_\mathrm T - \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} v_\mathrm B'\right)^2 \right] \\ {v_\mathrm B'}^2 & =2v_\mathrm T v_\mathrm B'- \frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T}{v_\mathrm B'}^2 \\ {v_\mathrm B'}^2\left( 1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} \right) & = 2v_\mathrm T v_\mathrm B' \, . \end{aligned}$

Unter der Voraussetzung $v_\mathrm B' \neq 0$, kann auf beiden Seiten durch $v_\mathrm B'$ dividiert werden:

$\begin{aligned} {v_\mathrm B'}\left( 1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T} \right) & = 2v_\mathrm T \\ v_\mathrm B' & = \frac{2v_\mathrm T}{1+\frac{m_\mathrm B}{m_\mathrm T}} \\ v_\mathrm B' & = 0{,}16~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, . \end{aligned}$