Aufgabensammlung Experimentalphysik

Anhalteweg und Aufprallgeschwindigkeit

Aufgabenstellung

Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von $v_0 = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$, als in einer Entfernung von $28~\mathrm m$ ein Hindernis vor ihm auftaucht. Nach einer Reaktionszeit von $t_\mathrm R = 1~\mathrm s$ beginnt der PKW-Fahrer eine Vollbremsung und bringt sein Fahrzeug unmittelbar vor dem Hindernis zum Stehen.

1. Welche (als konstant angenommene) Beschleunigung wirkt während des Bremsvorgangs?

2. Wenn das Fahrzeug eine Geschwindigkeit von $70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ gehabt hätte, mit welcher Geschwindigkeit wäre es dabei auf das Hindernis aufgeprallt? (Es gelten dieselbe Reaktionszeit und dieselbe Beschleunigung wie oben.)

Lösung Teil 1

Der gegebene Anhalteweg $s_\mathrm A =28~\mathrm m$ setzt sich zusammen aus dem Reaktionsweg $s_\mathrm{R}$ und dem Bremsweg $s_\mathrm{B}$:

$s_\mathrm A = s_\mathrm R + s_\mathrm B \, .$

Innerhalb der Reaktionszeit bewegt sich das Fahrzeug gleichförmig weiter. Dabei wird der Reaktionsweg

$s_\mathrm R = v_0 \cdot t_\mathrm R$

zurückgelegt. Der anschließende Bremsvorgang wird als gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit beschrieben:

$\begin{aligned} v(t) & = v_0 - at \\ s(t) & = v_0 t - \frac a2 t^2 \, .\end{aligned}$

Aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt

$t = \frac{v_0 - v(t)}{a} \, .$

Dies wird in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt:

$s(t) = v_0 \cdot \frac{v_0 -v(t)}{a} - \frac a2\cdot \frac{v_0^2-2v_0v(t)+v(t)^2}{a^2} = \frac{v_0^2-v(t)^2}{2a} \, .$ Daraus folgt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:

$v(s) = \sqrt{v_0^2 - 2as} \, .$

Bei der Fahrt mit $v_\mathrm{0} = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ kommt das Fahrzeug nach $s_\mathrm A = 28~\mathrm m$ zum Stillstand. Für den Bremsvorgang bedeutet dies, dass nach einem Bremsweg

$s_\mathrm{B} = s_\mathrm A -s_\mathrm{R} = s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R$ die Geschwindigkeit auf Null gesenkt wurde:

$v(s_\mathrm{B}) = \sqrt{v_\mathrm{0}^2-2as_\mathrm{B}} = 0 \, .$

Daraus folgt

$v_\mathrm{0}^2 = 2as_\mathrm{B}$ beziehungsweise

$a=\frac{v_\mathrm{0}^2}{2s_\mathrm{B}} = \frac{v_\mathrm{0}^2}{2\left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 6{,}84~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .$

Dies ist die als konstant angenommene Bremsverzögerung bei diesem Vorgang.

Lösung Teil 2

Bei der Fahrt mit $v_\mathrm{0} = 70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ prallt das Fahrzeug nach Zurücklegen des Wegs $s_\mathrm A$ mit der Restgeschwindigkeit $v_\mathrm{Rest}$ auf das Hindernis. Für diese Restgeschwindigkeit folgt aus dem oben hergeleiteten Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:

$v_\mathrm{Rest} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2as_\mathrm{B}} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2a \left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 58{,}16~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, .$

Tatsächlich könnte der Fahrer in diesem Fall seine Geschwindigkeit nur geringfügig verringern, da sowohl Reaktions- als auch Bremsweg durch die höhere Geschwindigkeit vergrößert werden.