Anhalteweg und Aufprallgeschwindigkeit
Aufgabenstellung
Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von v_0 = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}, als in einer Entfernung von 28~\mathrm m ein Hindernis vor ihm auftaucht. Nach einer Reaktionszeit von t_\mathrm R = 1~\mathrm s beginnt der PKW-Fahrer eine Vollbremsung und bringt sein Fahrzeug unmittelbar vor dem Hindernis zum Stehen.
Welche (als konstant angenommene) Beschleunigung wirkt während des Bremsvorgangs?
Wenn das Fahrzeug eine Geschwindigkeit von 70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} gehabt hätte, mit welcher Geschwindigkeit wäre es dabei auf das Hindernis aufgeprallt? (Es gelten dieselbe Reaktionszeit und dieselbe Beschleunigung wie oben.)
Lösung Teil 1
Der gegebene Anhalteweg s_\mathrm A =28~\mathrm m setzt sich zusammen aus dem Reaktionsweg s_\mathrm{R} und dem Bremsweg s_\mathrm{B}:
s_\mathrm A = s_\mathrm R + s_\mathrm B \, .
Innerhalb der Reaktionszeit bewegt sich das Fahrzeug gleichförmig weiter. Dabei wird der Reaktionsweg
s_\mathrm R = v_0 \cdot t_\mathrm R
zurückgelegt. Der anschließende Bremsvorgang wird als gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit beschrieben:
\begin{aligned} v(t) & = v_0 - at \\ s(t) & = v_0 t - \frac a2 t^2 \, .\end{aligned}
Aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt
t = \frac{v_0 - v(t)}{a} \, .
Dies wird in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt:
s(t) = v_0 \cdot \frac{v_0 -v(t)}{a} - \frac a2\cdot \frac{v_0^2-2v_0v(t)+v(t)^2}{a^2} = \frac{v_0^2-v(t)^2}{2a} \, . Daraus folgt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:
v(s) = \sqrt{v_0^2 - 2as} \, .
Bei der Fahrt mit v_\mathrm{0} = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} kommt das Fahrzeug nach s_\mathrm A = 28~\mathrm m zum Stillstand. Für den Bremsvorgang bedeutet dies, dass nach einem Bremsweg
s_\mathrm{B} = s_\mathrm A -s_\mathrm{R} = s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R die Geschwindigkeit auf Null gesenkt wurde:
v(s_\mathrm{B}) = \sqrt{v_\mathrm{0}^2-2as_\mathrm{B}} = 0 \, .
Daraus folgt
v_\mathrm{0}^2 = 2as_\mathrm{B} beziehungsweise
a=\frac{v_\mathrm{0}^2}{2s_\mathrm{B}} = \frac{v_\mathrm{0}^2}{2\left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 6{,}84~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .
Dies ist die als konstant angenommene Bremsverzögerung bei diesem Vorgang.
Lösung Teil 2
Bei der Fahrt mit v_\mathrm{0} = 70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} prallt das Fahrzeug nach Zurücklegen des Wegs s_\mathrm A mit der Restgeschwindigkeit v_\mathrm{Rest} auf das Hindernis. Für diese Restgeschwindigkeit folgt aus dem oben hergeleiteten Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:
v_\mathrm{Rest} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2as_\mathrm{B}} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2a \left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 58{,}16~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, .
Tatsächlich könnte der Fahrer in diesem Fall seine Geschwindigkeit nur geringfügig verringern, da sowohl Reaktions- als auch Bremsweg durch die höhere Geschwindigkeit vergrößert werden.