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Aufgabensammlung Experimentalphysik

Dr. Herbert Schletter

Anhalteweg und Aufprallgeschwindigkeit

Aufgabenstellung

Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von v_0 = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}, als in einer Entfernung von 28~\mathrm m ein Hindernis vor ihm auftaucht. Nach einer Reaktionszeit von t_\mathrm R = 1~\mathrm s beginnt der PKW-Fahrer eine Vollbremsung und bringt sein Fahrzeug unmittelbar vor dem Hindernis zum Stehen.

  1. Welche (als konstant angenommene) Beschleunigung wirkt während des Bremsvorgangs?

  2. Wenn das Fahrzeug eine Geschwindigkeit von 70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} gehabt hätte, mit welcher Geschwindigkeit wäre es dabei auf das Hindernis aufgeprallt? (Es gelten dieselbe Reaktionszeit und dieselbe Beschleunigung wie oben.)

Lösung Teil 1

Der gegebene Anhalteweg s_\mathrm A =28~\mathrm m setzt sich zusammen aus dem Reaktionsweg s_\mathrm{R} und dem Bremsweg s_\mathrm{B}:

s_\mathrm A = s_\mathrm R + s_\mathrm B \, .

Innerhalb der Reaktionszeit bewegt sich das Fahrzeug gleichförmig weiter. Dabei wird der Reaktionsweg

s_\mathrm R = v_0 \cdot t_\mathrm R

zurückgelegt. Der anschließende Bremsvorgang wird als gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit beschrieben:

\begin{aligned} v(t) & = v_0 - at \\ s(t) & = v_0 t - \frac a2 t^2 \, .\end{aligned}

Aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt

t = \frac{v_0 - v(t)}{a} \, .

Dies wird in das Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt:

s(t) = v_0 \cdot \frac{v_0 -v(t)}{a} - \frac a2\cdot \frac{v_0^2-2v_0v(t)+v(t)^2}{a^2} = \frac{v_0^2-v(t)^2}{2a} \, . Daraus folgt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:

v(s) = \sqrt{v_0^2 - 2as} \, .

Bei der Fahrt mit v_\mathrm{0} = 50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} kommt das Fahrzeug nach s_\mathrm A = 28~\mathrm m zum Stillstand. Für den Bremsvorgang bedeutet dies, dass nach einem Bremsweg

s_\mathrm{B} = s_\mathrm A -s_\mathrm{R} = s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R die Geschwindigkeit auf Null gesenkt wurde:

v(s_\mathrm{B}) = \sqrt{v_\mathrm{0}^2-2as_\mathrm{B}} = 0 \, .

Daraus folgt

v_\mathrm{0}^2 = 2as_\mathrm{B} beziehungsweise

a=\frac{v_\mathrm{0}^2}{2s_\mathrm{B}} = \frac{v_\mathrm{0}^2}{2\left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 6{,}84~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .

Dies ist die als konstant angenommene Bremsverzögerung bei diesem Vorgang.

Lösung Teil 2

Bei der Fahrt mit v_\mathrm{0} = 70~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} prallt das Fahrzeug nach Zurücklegen des Wegs s_\mathrm A mit der Restgeschwindigkeit v_\mathrm{Rest} auf das Hindernis. Für diese Restgeschwindigkeit folgt aus dem oben hergeleiteten Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der gleichmäßig verzögerten Bewegung:

v_\mathrm{Rest} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2as_\mathrm{B}} = \sqrt{v_\mathrm{0}^2 - 2a \left( s_\mathrm A - v_\mathrm{0}t_\mathrm R \right)} = 58{,}16~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \, .

Tatsächlich könnte der Fahrer in diesem Fall seine Geschwindigkeit nur geringfügig verringern, da sowohl Reaktions- als auch Bremsweg durch die höhere Geschwindigkeit vergrößert werden.